在平面直角座標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3過點A（﹣3，0），B（1，0），與y軸交於點C，頂點為點D．（...

問題詳情：

在平面直角座標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3過點A（﹣3，0），B（1，0），與y軸交於點C，頂點為點D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P為直線CD上的一個動點，連接BC；

①如圖1，是否存在點P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有滿足條件的點P的座標；若不存在，請説明理由；

②如圖2，點P在x軸上方，連接PA交拋物線於點N，∠PAB＝∠BCO，點M在第三象限拋物線上，連接MN，當∠ANM＝45°時，請直接寫出點M的座標．

【回答】

（1）y＝x2+2x﹣3；（2）①存在，點P的座標為（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）；②點M（﹣，﹣）

【解析】

（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），即可求解；

（2）①分點P（P′）在點C的右側、點P在點C的左側兩種情況，分別求解即可；

②*△AGR≌△RHM（AAS），則點M（m+n，n﹣m﹣3），利用點M在拋物線上和AR＝NR，列出等式即可求解．

【詳解】

解：（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），

解得：a＝1，

故拋物線的表達式為：y＝x2+2x﹣3①；

（2）由拋物線的表達式知，點C、D的座標分別為（0，﹣3）、（﹣1，﹣4），

由點C、D的座標知，直線CD的表達式為：y＝x﹣3；

tan∠BCO＝，則cos∠BCO＝；

①當點P（P′）在點C的右側時，

∵∠P′AB＝∠BCO，

故P′B∥y軸，則點P′（1，﹣2）；

當點P在點C的左側時，

設直線PB交y軸於點H，過點H作HN⊥BC於點N，

∵∠PBC＝∠BCO，

∴△BCH為等腰三角形，則

BC＝2CH•cos∠BCO＝2×CH×＝，

解得：CH＝，則OH＝3﹣CH＝，故點H（0，﹣），

由點B、H的座標得，直線BH的表達式為：y＝x﹣②，

聯立①②並解得：，

故點P的座標為（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）；

②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO＝，

故設直線AP的表達式為：y＝，將點A的座標代入上式並解得：s＝1，

故直線AP的表達式為：y＝x+1，

聯立①③並解得：，故點N（，）；

設△AMN的外接圓為圓R，

當∠ANM＝45°時，則∠ARM＝90°，設圓心R的座標為（m，n），

∵∠GRA+∠MRH＝90°，∠MRH+∠RMH＝90°，

∴∠RMH＝∠GAR，

∵AR＝MR，∠AGR＝∠RHM＝90°，

∴△AGR≌△RHM（AAS），

∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH，

∴點M（m+n，n﹣m﹣3），

將點M的座標代入拋物線表達式得：n﹣m﹣3＝（m+n）2+2（m+n）﹣3③，

由題意得：AR＝NR，即（m+3）2＝（m﹣）2+（）2④，

聯立③④並解得：，

故點M（﹣，﹣）．

【點睛】

本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到一次函數的*質、三角形全等、圓的基本知識等，其中（2）①，要注意分類求解，避免遺漏．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題