如圖，已知二次函數y＝ax2+bx﹣3a經過點A（﹣1，0），C（0，3），與x軸交於另一點B，拋物線的頂點為...

問題詳情：

如圖，已知二次函數 y＝ax2+bx﹣3a 經過點 A（﹣1，0），C（0，3），與 x 軸交於另一點 B，拋物線的頂點為 D．

（1）   求此二次函數解析式；

（2）   連接 DC、BC、DB，求*：△BCD 是直角三角形；

（3）   在對稱軸右側的拋物線上是否存在點 P，使得△PDC 為等腰三角形？若存在，求出符合條件的點 P 的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

解：（1）∵二次函數 y＝ax2+bx﹣3a 經過點 A（﹣1，0）、C（0，3），

∴根據題意，得           ， 解得 ，

∴拋物線的解析式為 y＝﹣x2+2x+3．

（2）由 y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4 得，D 點座標為（1，4），

∴CD＝ ＝ ，

BC＝ ＝3 ，

BD＝ ＝2 ，

∵CD2+BC2＝（ ）2+（3 ）2＝20，BD2＝（2 ）2＝20，

∴CD2+BC2＝BD2，

∴△BCD 是直角三角形；

（3）   存在．

y＝﹣x2+2x+3 對稱軸為直線 x＝1．

①若以 CD 為底邊，則 P1D＝P1C，

設 P1 點座標為（x，y），根據勾股定理可得 P1C2＝x2+（3﹣y）2，P1D2＝（x﹣1）2+（4﹣y）

2，

因此 x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2， 即 y＝4﹣x．

又 P1 點（x，y）在拋物線上，

∴4﹣x＝﹣x2+2x+3， 即 x2﹣3x+1＝0，

解得 x1＝                ，x2＝ ＜1，應捨去，

∴x＝      ，

∴y＝4﹣x＝      ，

即點 P1 座標為（                     ，）．

②若以 CD 為一腰，

∵點 P2 在對稱軸右側的拋物線上，由拋物線對稱*知，點 P2 與點 C 關於直線 x＝1 對稱， 此時點 P2 座標為（2，3）．

∴符合條件的點 P 座標為

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題