已知拋物線C1：y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）的頂點為M，經過原點O且與x軸另一交點為A．（1...

問題詳情：

已知拋物線C1：y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）的頂點為M，經過原點O且與x軸另一交點為A．

（1）求點A的座標；

（2）若△AMO為等腰直角三角形，求拋物線C1的解析式；

（3）現將拋物線C1繞着點P（m，0）旋轉180°後得到拋物線C2，若拋物線C2的頂點為N，當b=1，且頂點N在拋物線C1上時，求m的值．

【回答】

【考點】二次函數綜合題．

【分析】（1）由拋物線經過原點可知當x=0時，y=0，由此可得關於x的一元二次方程，解方程即可求出拋物線x軸另一交點座標；

（2）由△AMO為等腰直角三角形，拋物線的頂點為M，可求出b的值，再把原點座標（0，0）代入求出a的值，即可求出拋物線C1的解析式；

（3）由b=1，易求線拋物線C1的解析式，設N（n，﹣1），再由點P（m，0）可求出n和m的關係，當頂點N在拋物線C1上可把N的座標代入拋物線即可求出m的值．

【解答】解：（1）∵拋物線C1：y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）經過原點O，

∴0=4a+b，

∴當ax2+4ax+4a+b=0時，則ax2+4ax=0，

解得：x=0或﹣4，

∴拋物線與x軸另一交點A座標是（﹣4，0）；

（2）∵拋物線C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b（a≠0，b＞0），（如圖1）

∴頂點M座標為（﹣2，b），

∵△AMO為等腰直角三角形，

∴b=2，

∵拋物線C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b過原點，

∴a（0+2）2+2=0，

解得：a=﹣，

∴拋物線C1：y=﹣x2﹣2x；

（3）∵b=1，拋物線C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b過原點，（如圖2）

∴a=﹣，

∴y=﹣（x+2）2+1=﹣x2﹣x，

設N（n，﹣1），又因為點P（m，0），

∴n﹣m=m+2，

∴n=2m+2

即點N的座標是（2m+2，﹣1），

∵頂點N在拋物線C1上，

∴﹣1=﹣（2m+2+2）2+1，

解得：m=﹣2+或﹣2﹣．

【點評】本題考查了二次函數圖象與幾何變換．由於拋物線旋轉後的形狀不變，故|a|不變，所以求旋轉移後的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點旋轉移後的座標，利用待定係數法求出解析式；二是隻考慮旋轉後的頂點座標，即可求出解析式．

知識點：解一元二次方程

題型：綜合題