如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+5經過A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）兩點，與x軸的另一個交點為C，頂點為D...

問題詳情：

如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+5經過A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）兩點，與x軸的另一個交點為C，頂點為D，連結CD．

（1）求該拋物線的表達式；

（2）點P為該拋物線上一動點（與點B、C不重合），設點P的橫座標為t．

①當點P在直線BC的下方運動時，求△PBC的面積的最大值；

②該拋物線上是否存在點P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有點P的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

【解答】解：（1）將點A、B座標代入二次函數表達式得：，解得：，

故拋物線的表達式為：y＝x2+6x+5…①，

令y＝0，則x＝﹣1或﹣5，

即點C（﹣1，0）；

（2）①如圖1，過點P作y軸的平行線交BC於點G，

將點B、C的座標代入一次函數表達式並解得：

直線BC的表達式為：y＝x+1…②，

設點G（t，t+1），則點P（t，t2+6t+5），

S△PBC＝PG（xC﹣xB）＝（t+1﹣t2﹣6t﹣5）＝﹣t2﹣t﹣6，

∵＜0，∴S△PBC有最大值，當t＝﹣時，其最大值為；

②設直線BP與CD交於點H，

當點P在直線BC下方時，

∵∠PBC＝∠BCD，∴點H在BC的中垂線上，

線段BC的中點座標為（﹣，﹣），

過該點與BC垂直的直線的k值為﹣1，

設BC中垂線的表達式為：y＝﹣x+m，將點（﹣，﹣）代入上式並解得：

直線BC中垂線的表達式為：y＝﹣x﹣4…③，

同理直線CD的表達式為：y＝2x+2…④，

聯立③④並解得：x＝﹣2，即點H（﹣2，﹣2），

同理可得直線BH的表達式為：y＝x﹣1…⑤，

聯立①⑤並解得：x＝﹣或﹣4（捨去﹣4），

故點P（﹣，﹣）；

當點P（P′）在直線BC上方時，

∵∠PBC＝∠BCD，∴BP′∥CD，

則直線BP′的表達式為：y＝2x+s，將點B座標代入上式並解得：s＝5，

即直線BP′的表達式為：y＝2x+5…⑥，

聯立①⑥並解得：x＝0或﹣4（捨去﹣4），

故點P（0，5）；

故點P的座標為P（﹣，﹣）或（0，5）．

知識點：各地中考

題型：綜合題