已知拋物線y＝ax2+bx﹣4經過點A（2，0）、B（﹣4，0），與y軸交於點C．（1）求這條拋物線的解析式；...

問題詳情：

已知拋物線y＝ax2+bx﹣4經過點A（2，0）、B（﹣4，0），與y軸交於點C．

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）如圖1，點P是第三象限內拋物線上的一個動點，當四邊形ABPC的面積最大時，求點P的座標；

（3）如圖2，線段AC的垂直平分線交x軸於點E，垂足為D，M為拋物線的頂點，在直線DE上是否存在一點G，使△CMG的周長最小？若存在，求出點G的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

解：（1）∵拋物線y＝ax+bx﹣4經過點A（2，0），B（﹣4，0），

∴，

解得，

∴拋物線解析式為y＝x2+x﹣4；

（2）如圖1，連接OP，設點P（x，），其中﹣4＜x＜0，四邊形ABPC的面積為S，由題意得C（0，﹣4），

∴S＝S△AOC+S△OCP+S△OBP

＝+，

＝4﹣2x﹣x2﹣2x+8，

＝﹣x2﹣4x+12，

＝﹣（x+2）2+16．

∵﹣1＜0，開口向下，S有最大值，

∴當x＝﹣2時，四邊形ABPC的面積最大，

此時，y＝﹣4，即P（﹣2，﹣4）．

因此當四邊形ABPC的面積最大時，點P的座標為（﹣2，﹣4）．

（3），

∴頂點M（﹣1，﹣）．

如圖2，連接AM交直線DE於點G，此時，△CMG的周長最小．

設直線AM的解析式為y＝kx+b，且過點A（2，0），M（﹣1，﹣），

∴，

∴直線AM的解析式為y＝﹣3．

在Rt△AOC中，＝2．

∵D為AC的中點，

∴，

∵△ADE∽△AOC，

∴，

∴，

∴AE＝5，

∴OE＝AE﹣AO＝5﹣2＝3，

∴E（﹣3，0），

由圖可知D（1，﹣2）

設直線DE的函數解析式為y＝mx+n，

∴，解得：，

∴直線DE的解析式為y＝﹣﹣．

∴，解得：，

∴G（）．

知識點：勾股定理

題型：解答題