如圖，已知拋物線y=x2+bx與直線y=2x交於點O（0，0），A（a，12）．（1）求拋物線的解析式．（2）...

問題詳情：

如圖，已知拋物線y=x2+bx與直線y=2x交於點O（0，0），A（a，12）．

（1）求拋物線的解析式．

（2）點B是拋物線上O、A之間的一個動點，過點B分別作x軸、y軸的平行線與直線OA交於點C、E，以BE、BC為邊構造矩形BCDE，設點D的座標為（m，n），求m，n之間的關係式．

（3）將*線OA繞原點逆時針旋轉45°後與拋物線交於點P，求P點的座標．

【回答】

【考點】二次函數綜合題．

【分析】（1）把點A的座標代入一次函數解析式求得a的值；然後把點A的座標代入二次函數解析式來求b的值即可；

（2）根據點D的座標，可得出點E的座標，點C的座標，繼而確定點B的座標，將點B的座標代入拋物線解析式可求出m，n之間的關係式；

（3）如圖2，作∠POA=45°，交拋物線與P，過P作PQ⊥OA於Q，過P作PM⊥x軸於M，過Q作QN⊥PM於N交y軸於R，構建全等三角形△PNQ≌△QRO，結合全等三角形的對應邊相等和二次函數圖象上點的座標特徵來求點P的座標．

【解答】解：（1）∵點A（a，12）在直線y=2x上，

∴12=2a，

解得：a=6，

又∵點A是拋物線y=x2+bx上的一點，

將點A（6，12）代入y=x2+bx，可得b=﹣1，

∴拋物線解析式為y=x2﹣x；

（2）如圖1，∵直線OA的解析式為：y=2x，點D的座標為（m，n），

∴點E的座標為（n，n），點C的座標為（m，2m），

∴點B的座標為（n，2m），

把點B（n，2m）代入y=x2﹣x，可得m=n2﹣n，

∴m、n之間的關係式為m=n2﹣n；

（3）如圖2，作∠POA=45°，交拋物線與P，過P作PQ⊥OA於Q，過P作PM⊥x軸於M，過Q作QN⊥PM於N交y軸於R，

則△PNQ≌△QRO，

所以NQ=RO，PN=QR，

設Q點為（t，2t），則P為（﹣t，3t），代入拋物線解析式得t2+t=3t，

解得：t1=0，t2=4，

∵t＞0，

∴P點的座標為（﹣4，12）．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題