如圖,已知點A(﹣1,0),B(3,0),C(0,1)在拋物線y=ax2+bx+c上.(1)求拋物線解析式;(...
問題詳情:
如圖,已知點A(﹣1,0),B(3,0),C(0,1)在拋物線y=ax2+bx+c上.
(1)求拋物線解析式;
(2)在直線BC上方的拋物線上求一點P,使△PBC面積為1;
(3)在x軸下方且在拋物線對稱軸上,是否存在一點Q,使∠BQC=∠BAC?若存在,求出Q點座標;若不存在,説明理由.
【回答】
(1)拋物線的解析式為y=﹣x2+x+1;(2)點P的座標為(1,)或(2,1);(3)存在,理由見解析.
【解析】
【分析】
(1)設拋物線的解析式為y=a(x+1)(x﹣3),將C(0,1)代入求得a的值即可;
(2)過點P作PD⊥x,交BC與點D,先求得直線BC的解析式為y=﹣x+1,設點P(x,﹣x2+x+1),則D(x,﹣ x+1),然後可得到PD與x之間的關係式,接下來,依據△PBC的面積為1列方程求解即可;
(3)首先依據點A和點C的座標可得到∠BQC=∠BAC=45°,設△ABC外接圓圓心為M,則∠CMB=90°,設⊙M的半徑為x,則Rt△CMB中,依據勾股定理可求得⊙M的半徑,然後依據外心的*質可得到點M為直線y=﹣x與x=1的交點,從而可求得點M的座標,然後由點M的座標以及⊙M的半徑可得到點Q的座標.
【詳解】
(1)設拋物線的解析式為y=a(x+1)(x﹣3),將C(0,1)代入得﹣3a=1,解得:a=﹣,
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+1;
(2)過點P作PD⊥x,交BC與點D,
設直線BC的解析式為y=kx+b,則,解得:k=﹣,
∴直線BC的解析式為y=﹣x+1,
設點P(x,﹣ x2+x+1),則D(x,﹣ x+1),
∴PD=(﹣x2+x+1)﹣(﹣x+1)=﹣x2+x,
∴S△PBC=OB•DP=×3×(﹣x2+x)=﹣x2+x,
又∵S△PBC=1,
∴﹣x2+x=1,整理得:x2﹣3x+2=0,解得:x=1或x=2,
∴點P的座標為(1,)或(2,1);
(3)存在.
∵A(﹣1,0),C(0,1),
∴OC=OA=1,
∴∠BAC=45°,
∵∠BQC=∠BAC=45°,
∴點Q為△ABC外接圓與拋物線對稱軸在x軸下方的交點,
設△ABC外接圓圓心為M,則∠CMB=90°,
設⊙M的半徑為x,則Rt△CMB中,由勾股定理可知CM2+BM2=BC2,即2x2=10,
解得:x=(負值已捨去),
∵AC的垂直平分線的為直線y=﹣x,AB的垂直平分線為直線x=1,
∴點M為直線y=﹣x與x=1的交點,即M(1,﹣1),
∴Q的座標為(1,﹣1﹣).
【點睛】
本題考查的是二次函數的綜合應用,涉及了待定係數法求二次函數的解析式、三角形的外心的*質,求得點M的座標以及⊙M的半徑的長度是解題的關鍵.
知識點:二次函數單元測試
題型:解答題