如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交於點A（﹣1，0），點B（﹣3，0），且OB＝OC．（1）求拋物線的解...
問題詳情：
如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交於點A（﹣1，0），點B（﹣3，0），且OB＝OC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P在拋物線上，且∠POB＝∠ACB，求點P的座標；
（3）拋物線上兩點M，N，點M的橫座標為m，點N的橫座標為m+4．點D是拋物線上M，N之間的動點，過點D作y軸的平行線交MN於點E．
①求DE的最大值；
②點D關於點E的對稱點為F，當m為何值時，四邊形MDNF為矩形．
【回答】
解：（1）∵拋物線與x軸交於點A（﹣1，0），點B（﹣3，0）
∴設交點式y＝a（x+1）（x+3）
∵OC＝OB＝3，點C在y軸負半軸
∴C（0，﹣3）
把點C代入拋物線解析式得：3a＝﹣3
∴a＝﹣1
∴拋物線解析式為y＝﹣（x+1）（x+3）＝﹣x2﹣4x﹣3
（2）如圖1，過點A作AG⊥BC於點G，過點P作PH⊥x軸於點H
∴∠AGB＝∠AGC＝∠PHO＝90°
∵∠ACB＝∠POB
∴△ACG∽△POH
∴
∴
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°
∴∠ABC＝45°，BC＝
＝3
∴△ABG是等腰直角三角形
∴AG＝BG＝
AB＝
∴CG＝BC﹣BG＝3
﹣
＝2
∴
∴OH＝2PH
設P（p，﹣p2﹣4p﹣3）
①當p＜﹣3或﹣1＜p＜0時，點P在點B左側或在AC之間，橫縱座標均為負數
∴OH＝﹣p，PH＝﹣（﹣p2﹣4p﹣3）＝p2+4p+3
∴﹣p＝2（p2+4p+3）
解得：p1＝
，p2＝
∴P（
，
）或（
，
）
②當﹣3＜p＜﹣1或p＞0時，點P在AB之間或在點C右側，橫縱座標異號
∴p＝2（p2+4p+3）
解得：p1＝﹣2，p2＝﹣
∴P（﹣2，1）或（﹣
，
）
綜上所述，點P的座標為（
，
）、（
，
）、（﹣2，1）或（﹣
，
）．
（3）①如圖2，∵x＝m+4時，y＝﹣（m+4）2﹣4（m+4）﹣3＝﹣m2﹣12m﹣35
∴M（m，﹣m2﹣4m﹣3），N（m+4，﹣m2﹣12m﹣35）
設直線MN解析式為y＝kx+n
∴
解得：
∴直線MN：y＝（﹣2m﹣8）x+m2+4m﹣3
設D（d，﹣d2﹣4d﹣3）（m＜d＜m+4）
∵DE∥y軸
∴xE＝xD＝d，E（d，（﹣2m﹣8）d+m2+4m﹣3）
∴DE＝﹣d2﹣4d﹣3﹣[（﹣2m﹣8）d+m2+4m﹣3]＝﹣d2+（2m+4）d﹣m2﹣4m＝﹣[d﹣（m+2）]2+4
∴當d＝m+2時，DE的最大值為4．
②如圖3，∵D、F關於點E對稱
∴DE＝EF
∵四邊形MDNF是矩形
∴MN＝DF，且MN與DF互相平分
∴DE＝
MN，E為MN中點
∴xD＝xE＝
＝m+2
由①得當d＝m+2時，DE＝4
∴MN＝2DE＝8
∴（m+4﹣m）2+[﹣m2﹣12m﹣35﹣（﹣m2﹣4m﹣3）]2＝82
解得：m1＝﹣4﹣
，m2＝﹣4+
∴m的值為﹣4﹣
或﹣4+
時，四邊形MDNF為矩形．
知識點：各地中考
題型：綜合題
