如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交於A、B(A左B右),與y軸交於C,直線y=﹣x+5經過點B、C.(1...
問題詳情:
如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交於A、B(A左B右),與y軸交於C,直線y=﹣x+5經過點B、C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P為第二象限拋物線上一點,設點P橫座標為m,點P到直線BC的距離為d,求d與m的函數解析式;
(3)在(2)的條件下,若∠PCB+∠POB=180°,求d的值.
【回答】
(1)y=﹣x2+x+5(2)d=m2﹣m(﹣2<m<0)(3)
【解析】
【分析】
(1)首先求出B、C兩點座標,再利用待定係數法即可解決問題;
(2)如圖1中,作PE⊥BC於E,作PF∥AB交BC於F.只要*△PEF是等腰直角三角形,想辦法求出PF(用m表示),即可解決問題;
(3)首先*O、B、C、P四點共圓,推出∠CPB=∠COB=90°,可得PH=BC=,由P(m,﹣m2+m+5),H(,),可得(m﹣)2+(﹣m2+m+5﹣)2=,解方程去m,再利用(2)中結論即可解決問題.
【詳解】
(1)∵直線y=﹣x+5經過點B、C,
∴B(5,0),C(0,5),
把B、C座標代入y=﹣x2+bx+c得到: ,
解得,
∴二次函數的解析式為y=﹣x2+x+5;
(2)如圖1中,作PE⊥BC於E,作PF∥AB交BC於F.
∵P(m,﹣m2+m+5),
∵PF∥AB,
∴點F的縱座標為﹣m2+m+5,
則有﹣m2+m+5=﹣x+5,
∴x=m2﹣m,
∴PF=m2﹣m﹣m=m2﹣m,
∵OB=OC,∠BOC=90°,
∴∠EFP=∠OBC=45°,∵PE⊥EF,
∴△PEF是等腰直角三角形,
∴d=PE=PF=m2﹣m(﹣2<m<0);
(3)如圖2中,取BC的中點H,連接PH.
∵∠PCB+∠POB=180°,
∴O、B、C、P四點共圓,
∴∠CPB=∠COB=90°,
∴PH=BC=,
∵P(m,﹣m2+m+5),H(,),
∴(m﹣)2+(﹣m2+m+5﹣)2=,
整理得:m(m﹣5)(m2﹣m﹣2)=0,
解得m=0或5或﹣1或2,
∵P在第二象限,
∴m=﹣1,
∴d=m2﹣m=.
【點睛】
本題考查二次函數綜合題、等腰直角三角形的*質、待定係數法、四點共圓、二元二次方程組等知識,解題的關鍵是學會添加常用輔助線,構造等腰直角三角形解決問題,學會構建方程組解決問題,屬於中考壓軸題.
知識點:二次函數單元測試
題型:解答題