如圖，已知直線y＝－3x＋c與x軸相交於點A(1，0)，與y軸相交於點B，拋物線y＝－x2＋bx＋c經過點A，...
問題詳情：
如圖，已知直線y＝－3x＋c與x軸相交於點A(1，0)，與y軸相交於點B，拋物線y＝－x2＋bx＋c經過點A，B，與x軸的另一個交點是C．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點P是對稱軸的左側拋物線上的一點，當S△PAB＝2S△AOB時，求點P的座標；
(3)連接BC，拋物線上是否存在點M，使∠MCB＝∠ABO？若存在，請直接寫出點M的座標；若不存在，請説明理由．
【回答】
解：(1)將A(1，0)代入y＝－3x＋c中，得－3＋c＝0，解得c＝3.
∴y＝－3x＋3，B(0，3)．
將A(1，0)，B(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c中，得
∴拋物線的解析式為y＝－x2－2x＋3.
(2)連接OP，如解圖1所示．
拋物線的對稱軸為直線x＝－
＝－1.
設P(m，－m2－2m＋3)(m＜－1)．
∵S△PAB＝S△POB＋S△AOB－S△POA，S△PAB＝2S△AOB，
∴S△POB－S△POA＝S△AOB．
①當P點在x軸的上方時，
×3×(－m)－
×1×(－m2－2m＋3)＝
×1×3，
解得m1＝－2，m2＝3(捨去)．
此時P點的座標為(－2，3)．
②當P點在x軸的下方時，
×3×(－m)－×1×(m2＋2m－3)＝×1×3，
解得m1＝－5，m2＝0(捨去)．
此時P點的座標為(－5，－12)．
綜上所述，P點的座標為(－2，3)或(－5，－12)．
(3)存在點M，使∠MCB＝∠ABO，點M的座標為(，
)或(－
，
)．
【提示】 在y＝－x2－2x＋3中，令y＝0，得－x2－2x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝－3，∴C(－3，0)．∵OC＝OB＝3，∴△OBC為等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BC＝3
.①當∠MCB在直線BC的下方時，如解圖2所示．設直線CM交y軸於點D，作DE⊥BC於點E，設D(0，t)，則BD＝3－t.∵∠DBE＝45°，∴△BDE為等腰直角三角形，∴DE＝BE＝
BD＝
(3－t)．∵∠MCB＝∠ABO，tan∠MCB＝
，tan∠ABO＝
，∴
＝
＝
，即CE＝3DE，∴3
－
(3－t)＝3×(3－t)，解得t＝
，∴D(0，
)，∴直線CD的解析式為y＝x＋.聯立
捨去)，此時M點的座標為(，
)．②當∠MCB在直線BC的上方時，如解圖3所示，設CM交直線AB於點N，過點N作NP⊥x軸於點P.易得直線AB的解析式為y＝－3x＋3，AB＝
.設N(k，－3k＋3)．∵∠MCB＝∠ABO，∠CBO＝∠OCB，∴∠NCA＝∠ABC．又∵∠BAC＝∠CAN，∴△ABC∽△ACN，∴
＝
，即
＝
，∴AN＝
.在Rt△NPA中，由勾股定理，得(k－1)2＋(－3k＋3)2＝(
)2，解得k1＝
(捨去)，k2＝－
.∴N點的座標為(－
，
)，∴直線CN的解析式為y＝2x＋6.聯立
解得
(捨去)，此時M點的座標為(－1，4)．
綜上所述，存在點M，使∠MCB＝∠ABO，點M的座標為(，)或(－1，4)．
知識點：相似三角形
題型：綜合題
