如圖①，在平面直角座標系中，已知拋物線y＝ax2＋bx－5與x軸交於A(－1，0)，B(5，0)兩點，與y軸交...

問題詳情：

如圖①，在平面直角座標系中，已知拋物線y＝ax2＋bx－5與x軸交於A(－1，0)，B(5，0)兩點，與y軸交於點C.

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)若點D是y軸上的一點，且以B，C，D為頂點的三角形與

△ABC相似，求點D的座標；

(3)如圖②，CE∥x軸與拋物線相交於點E，點H是直線CE下方拋物線上的動點，過點H且與y軸平行的直線與BC，CE分別相交於點F，G，試探究當點H運動到何處時，四邊形CHEF的面積最大，求點H的座標及最大面積．

【回答】

解：(1)∵拋物線過點A(－1，0)和點B(5，0)，

∴，　解得，

∴拋物線的函數表達式為y＝x2－4x－5；

(2)∵OB＝OC＝5，

∴∠ABC＝∠OCB＝45°，

∴以B、C、D三點為頂點的三角形要與△ABC相似，必須要有一個角等於45°.

(ⅰ)當點D在點C的下方時，∠BCD＝180°－45°＝135°，

∴不會出現45°角，

∴此種情況不存在；

(ⅱ)當點D在點C的上方時，∠BCD＝45°，易得BC＝OB＝5，AB＝OA＋OB＝1＋5＝6，

存在兩種情況：

①當△BCD∽△ABC時，＝，

即＝，

∴CD＝，

OD＝CD－OC＝－5＝，

∴D(0，)；

②當△DCB∽△ABC時，＝，

即＝，

∴CD＝6，

OD＝CD－OC＝6－5＝1，

∴點D(0，1)，

∴綜上所述，點D的座標為(0，1)或(0，)時，以B，C，D為頂點的三角形與△ABC相似；

(3)令y＝－5得x2－4x－5＝－5，

解得x1＝0，x2＝4，

∴E(4，－5)，

∴CE＝4，

設H(a，a2－4a－5)，點H是在直線CE下方拋物線上的動點，

∴0＜a＜4.

設直線BC的表達式為y＝kx＋b，

把點B(5，0)、C(0，－5)代入得

，解得，

∴直線BC的表達式為y＝x－5，

則點F(a，a－5)，

∴FH＝a－5－(a2－4a－5)＝－a2＋5a，

∵CE⊥FH，

∴S四邊形CHEF＝CE×FH＝－2a2＋10a＝－2(a－)2＋，

∵0＜a＜4，

∴當a＝時，四邊形CHEF面積有最大值，最大值是，

此時H(，－)．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題