如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與直線y=x+1相交於A（﹣1，0），B（4，m）兩點，且拋物線經過...

問題詳情：

如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與直線y=x+1相交於A（﹣1，0），B（4，m）兩點，且拋物線經過點C（5，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是拋物線上的一個動點（不與點A、點B重合），過點P作直線PD⊥x軸於點D，交直線AB於點E．

①當PE=2ED時，求P點座標；

②是否存在點P使△BEC為等腰三角形？若存在請直接寫出點P的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

【考點】HF：二次函數綜合題．

【分析】（1）由直線解析式可求得B點座標，由A、B、C三點的座標，利用待定係數法可求得拋物線解析式；

（2）①可設出P點座標，則可表示出E、D的座標，從而可表示出PE和ED的長，由條件可知到關於P點座標的方程，則可求得P點座標；②由E、B、C三點座標可表示出BE、CE和BC的長，由等腰三角形的*質可得到關於E點座標的方程，可求得E點座標，則可求得P點座標．

【解答】解：

（1）∵點B（4，m）在直線y=x+1上，

∴m=4+1=5，

∴B（4，5），

把A、B、C三點座標代入拋物線解析式可得，解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+4x+5；

（2）①設P（x，﹣x2+4x+5），則E（x，x+1），D（x，0），

則PE=|﹣x2+4x+5﹣（x+1）|=|﹣x2+3x+4|，DE=|x+1|，

∵PE=2ED，

∴|﹣x2+3x+4|=2|x+1|，

當﹣x2+3x+4=2（x+1）時，解得x=﹣1或x=2，但當x=﹣1時，P與A重合不合題意，捨去，

∴P（2，9）；

當﹣x2+3x+4=﹣2（x+1）時，解得x=﹣1或x=6，但當x=﹣1時，P與A重合不合題意，捨去，

∴P（6，﹣7）；

綜上可知P點座標為（2，9）或（6，﹣7）；

②設P（x，﹣x2+4x+5），則E（x，x+1），且B（4，5），C（5，0），

∴BE==|x﹣4|，CE==，BC==，

當△BEC為等腰三角形時，則有BE=CE、BE=BC或CE=BC三種情況，

當BE=CE時，則|x﹣4|=，解得x=，此時P點座標為（，）；

當BE=BC時，則|x﹣4|=，解得x=4+或x=4﹣，此時P點座標為（4+，﹣4﹣8）或（4﹣，4﹣8）；

當CE=BC時，則=，解得x=0或x=4，當x=4時E點與B點重合，不合題意，捨去，此時P點座標為（0，5）；

綜上可知存在滿足條件的點P，其座標為（，）或（4+，﹣4﹣8）或（4﹣，4﹣8）或（0，5）．

知識點：各地中考

題型：綜合題