如圖，已知A（﹣2，0），B（4，0），拋物線y=ax2+bx﹣1過A、B兩點，並與過A點的直線y=﹣x﹣1交...

問題詳情：

如圖，已知A（﹣2，0），B（4，0），拋物線y=ax2+bx﹣1過A、B兩點，並與過A點的直線y=﹣x﹣1交於點C．

（1）求拋物線解析式及對稱軸；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使四邊形ACPO的周長最小？若存在，求出點P的座標，若不存在，請説明理由；

（3）點M為y軸右側拋物線上一點，過點M作直線AC的垂線，垂足為N．問：是否存在這樣的點N，使以點M、N、C為頂點的三角形與△AOC相似，若存在，求出點N的座標，若不存在，請説明理由．

【回答】

（1）拋物線解析式為：y=，拋物線對稱軸為直線x=1；（2）存在P點座標為（1，﹣）；（3）N點座標為（4，﹣3）或（2，﹣1）

【解析】

分析：（1）由待定係數法求解即可；

（2）將四邊形周長最小轉化為PC+PO最小即可；

（3）利用相似三角形對應點進行分類討論，構造圖形．設出點N座標，表示點M座標代入拋物線解析式即可．

詳解：（1）把A（-2，0），B（4，0）代入拋物線y=ax2+bx-1，得

解得

∴拋物線解析式為：y=x2−x−1

∴拋物線對稱軸為直線x=-＝1

（2）存在

使四邊形ACPO的周長最小，只需PC+PO最小

∴取點C（0，-1）關於直線x=1的對稱點C′（2，-1），連C′O與直線x=1的交點即為P點．

設過點C′、O直線解析式為：y=kx

∴k=-

∴y=-x

則P點座標為（1，-）

（3）當△AOC∽△MNC時，

如圖，延長MN交y軸於點D，過點N作NE⊥y軸於點E

∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°

∴∠CDN=∠CAO

由相似，∠CAO=∠CMN

∴∠CDN=∠CMN

∵MN⊥AC

∴M、D關於AN對稱，則N為DM中點

設點N座標為（a，-a-1）

由△EDN∽△OAC

∴ED=2a

∴點D座標為（0，-a−1）

∵N為DM中點

∴點M座標為（2a，a−1）

把M代入y=x2−x−1，解得

a=4

則N點座標為（4，-3）

當△AOC∽△CNM時，∠CAO=∠NCM

∴CM∥AB則點C關於直線x=1的對稱點C′即為點N

由（2）N（2，-1）

∴N點座標為（4，-3）或（2，-1）

點睛：本題為代數幾何綜合題，考查了待定係數、兩點之間線段最短的數學模型構造、三角形相似．解答時，應用了數形結合和分類討論的數學思想．

知識點：二次函數單元測試

題型：解答題