如圖，已知拋物線y=ax2﹣x+c與x軸相交於A、B兩點，並與直線y=x﹣2交於B、C兩點，其中點C是直線y=...
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問題詳情：
如圖，已知拋物線y=ax2﹣
x+c與x軸相交於A、B兩點，並與直線y=
x﹣2交於B、C兩點，其中點C是直線y=
x﹣2與y軸的交點，連接AC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）*：△ABC為直角三角形；
（3）△ABC內部能否截出面積最大的矩形DEFG？（頂點D、E、F、G在△ABC各邊上）若能，求出最大面積；若不能，請説明理由．
【回答】
【解答】（1）解：∵直線y=
x﹣2交x軸、y軸於B、C兩點，
∴B（4，0），C（0，﹣2），
∵y=ax2﹣
x+c過B、C兩點，
∴
，
解得
，
∴y=
x2﹣
x﹣2．
（2）*：如圖1，連接AC，
∵y=
x2﹣
x﹣2與x負半軸交於A點，
∴A（﹣1，0），
在Rt△AOC中，
∵AO=1，OC=2，
∴AC=
，
在Rt△BOC中，
∵BO=4，OC=2，
∴BC=2
，
∵AB=AO+BO=1+4=5，
∴AB2=AC2+BC2，
∴△ABC為直角三角形．
（3）解：△ABC內部可截出面積最大的矩形DEFG，面積為
，理由如下：
①一點為C，AB、AC、BC邊上各有一點，如圖2，此時△AGF∽△ACB∽△FEB．
設GC=x，AG=
﹣x，
∵
，
∴
，
∴GF=2﹣2x，
∴S=GC•GF=x•（2
）=﹣2x2+2
x=﹣2[（x﹣
）2﹣
]=﹣2（x﹣
）2+
，
即當x=
時，S最大，為
．
②AB邊上有兩點，AC、BC邊上各有一點，如圖3，此時△CDE∽△CAB∽△GAD，
設GD=x，
∵
，
∴
，
∴AD=
x，
∴CD=CA﹣AD=
﹣
x，
∵
，
∴
，
∴DE=5﹣
x，
∴S=GD•DE=x•（5﹣
x）=﹣
x2+5x=﹣ [（x﹣1）2﹣1]=﹣
（x﹣1）2+
，
即x=1時，S最大，為
．
綜上所述，△ABC內部可截出面積最大的矩形DEFG，面積為．
知識點：二次函數與一元二次方程
題型：綜合題
