如圖,拋物線y=ax2+bx+c經過點A(-2,5),與x軸相交於B(-1,0),C(3,0)兩點.(1)求拋...
問題詳情:
如圖,拋物線y=ax2+bx+c經過點A(-2,5),與x軸相交於B(-1,0),C(3,0)兩點. (1)求拋物線的函數表達式; (2)點D在拋物線的對稱軸上,且位於x軸的上方,將△BCD沿直線BD翻折得到△BC'D,若點C'恰好落在拋物線的對稱軸上,求點C'和點D的座標; (3)設P是拋物線上位於對稱軸右側的一點,點Q在拋物線的對稱軸上,當△CPQ為等邊三角形時,求直線BP的函數表達式.
【回答】
解:(1)由題意得: 解得, ∴拋物線的函數表達式為y=x2-2x-3. (2)∵拋物線與x軸交於B(-1,0),C(3,0), ∴BC=4,拋物線的對稱軸為直線x=1, 如圖,設拋物線的對稱軸與x軸交於點H,則H點的座標為(1,0),BH=2, 由翻折得C′B=CB=4, 在Rt△BHC′中,由勾股定理,得C′H===2, ∴點C′的座標為(1,2),tan, ∴∠C′BH=60°, 由翻折得∠DBH=∠C′BH=30°, 在Rt△BHD中,DH=BH•tan∠DBH=2•tan30°=, ∴點D的座標為(1,). (3)取(2)中的點C′,D,連接CC′, ∵BC′=BC,∠C′BC=60°, ∴△C′CB為等邊三角形.分類討論如下: ①當點P在x軸的上方時,點Q在x軸上方,連接BQ,C′P. ∵△PCQ,△C′CB為等邊三角形, ∴CQ=CP,BC=C′C,∠PCQ=∠C′CB=60°, ∴∠BCQ=∠C′CP, ∴△BCQ≌△C′CP(SAS), ∴BQ=C′P. ∵點Q在拋物線的對稱軸上, ∴BQ=CQ, ∴C′P=CQ=CP, 又∵BC′=BC, ∴BP垂直平分CC′, 由翻折可知BD垂直平分CC′, ∴點D在直線BP上, 設直線BP的函數表達式為y=kx+b, 則,解得, ∴直線BP的函數表達式為y=. ②當點P在x軸的下方時,點Q在x軸下方. ∵△PCQ,△C′CB為等邊三角形, ∴CP=CQ,BC=CC′,∠CC′B=∠QCP=∠C′CB=60°. ∴∠BCP=∠C′CQ, ∴△BCP≌△C′CQ(SAS), ∴∠CBP=∠CC′Q, ∵BC′=CC′,C′H⊥BC, ∴. ∴∠CBP=30°, 設BP與y軸相交於點E, 在Rt△BOE中,OE=OB•tan∠CBP=OB•tan30°=1×, ∴點E的座標為(0,-). 設直線BP的函數表達式為y=mx+n, 則,解得, ∴直線BP的函數表達式為y=-. 綜上所述,直線BP的函數表達式為或. 【解析】
(1)根據待定係數法,把點A(-2,5),B(-1,0),C(3,0)的座標代入y=ax2+bx+c得到方程組求解即可; (2)設拋物線的對稱軸與x軸交於點H,則H點的座標為(1,0),BH=2,由翻折得C′B=CB=4,求出C′H的長,可得∠C′BH=60°,求出DH的長,則D座標可求; (3)由題意可知△C′CB為等邊三角形,分兩種情況討論:①當點P在x軸的上方時,點Q在x軸上方,連接BQ,C′P.*出△BCQ≌△C′CP,可得BP垂直平分CC′,則D點在直線BP上,可求出直線BP的解析式,②當點P在x軸的下方時,點Q在x軸下方.同理可求出另一直線解析式. 本題考查了二次函數的綜合題,涉及的知識點有:待定係數法求二次函數解析式,待定係數法求一次函數解析式,軸對稱的*質,全等三角形的判定和*質,等邊三角形的判定與*質,鋭角三角函數等知識,綜合*較強,有一定的難度.
知識點:各地中考
題型:綜合題