如圖，拋物線y=ax2+bx﹣經過點A（1，0）和點B（5，0），與y軸交於點C．（1）求此拋物線的解析式；（...
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問題詳情：
如圖，拋物線y=ax2+bx﹣經過點A（1，0）和點B（5，0），與y軸交於點C．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）以點A為圓心，作與直線BC相切的⊙A，求⊙A的半徑；
（3）在直線BC上方的拋物線上任取一點P，連接PB，PC，請問：△PBC的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值的此時點P的座標；若不存在，請説明理由．
【回答】
解答： 解：（1）∵拋物線y=ax2+bx﹣經過點A（1，0）和點B（5，0），
∴把A、B兩點座標代入可得，解得，
∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x﹣；
（2）過A作AD⊥BC於點D，如圖1，
∵⊙A與BC相切，
∴AD為⊙A的半徑，
由（1）可知C（0，﹣），且A（1，0），B（5，0），
∴OB=5，AB=OB﹣OA=4，OC=，
在Rt△OBC中，由勾股定理可得BC===，
∵∠ADB=∠BOC=90°，∠ABD=∠CBO，
∴△ABD∽△CBO，
∴=，即=，解得AD=，
即⊙A的半徑為；
（3）∵C（0，﹣），
∴可設直線BC解析式為y=kx﹣，
把B點座標代入可求得k=，
∴直線BC的解析式為y=x﹣，
過P作PQ∥y軸，交直線BC於點Q，交x軸於點E，如圖2，
設P（x，﹣x2+2x﹣），則Q（x，x﹣），
∴PQ=（﹣x2+2x﹣）﹣（x﹣）=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，
∴S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=PQ•OE+PQ•BE=PQ（OE+BE）=PQ•OB=PQ=﹣（x﹣）2+，
∴當x=時，S△PBC有最大值，此時P點座標為（，），
∴當P點座標為（，）時，△PBC的面積有最大值．
知識點：各地中考
題型：綜合題
