已知拋物線y＝ax2+bx+3經過點A（1，0）和點B（﹣3，0），與y軸交於點C，點P為第二象限內拋物線上的...

問題詳情：

已知拋物線y＝ax2+bx+3經過點A（1，0）和點B（﹣3，0），與y軸交於點C，點P為第二象限內拋物線上的動點．

（1）拋物線的解析式為　   　，拋物線的頂點座標為　   　；

（2）如圖1，連接OP交BC於點D，當S△CPD：S△BPD＝1：2時，請求出點D的座標；

（3）如圖2，點E的座標為（0，﹣1），點G為x軸負半軸上的一點，∠OGE＝15°，連接PE，若∠PEG＝2∠OGE，請求出點P的座標；

（4）如圖3，是否存在點P，使四邊形BOCP的面積為8？若存在，請求出點P的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

【解答】解：（1）函數的表達式為：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），

即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2﹣2x+3…①，

頂點座標為（﹣1，4）；

（2）∵OB＝OC，

∴∠CBO＝45°，

∵S△CPD：S△BPD＝1：2，

∴BD＝BC＝×＝2，

yD＝BDsin∠CBO＝2，

則點D（﹣1，2）；

（3）如圖2，設直線PE交x軸於點H，

∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，

∴∠OHE＝45°，

∴OH＝OE＝1，

則直線HE的表達式為：y＝﹣x﹣1…②，

聯立①②並解得：x＝（捨去正值），

故點P（，）；

（4）不存在，理由：

連接BC，過點P作y軸的平行線交BC於點H，

直線BC的表達式為：y＝x+3，

設點P（x，﹣x2﹣2x+3），點H（x，x+3），

則S四邊形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝×3×3+（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8，

整理得：3x2+9x+7＝0，

解得：△＜0，故方程無解，

則不存在滿足條件的點P．

知識點：各地中考

題型：綜合題