如圖，拋物線y＝ax2+x+c經過點A（﹣1，0）和點C（0，3）與x軸的另一交點為點B，點M是直線BC上一動...
問題詳情：
如圖，拋物線y＝ax2+
x+c經過點A（﹣1，0）和點C （0，3）與x軸的另一交點為點B，點M是直線BC上一動點，過點M作MP∥y軸，交拋物線於點P．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在一點Q，使得△QCO是等邊三角形？若存在，求出點Q的座標；若不存在，請説明理由；
（3）以M為圓心，MP為半徑作⊙M，當⊙M與座標軸相切時，求出⊙M的半徑．
【回答】
解：（1）把點A（﹣1，0）和點C （0，3）代入y＝ax2+
x+c得：
，
解得：
，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣
x2+
x+3；
（2）不存在，理由如下：
①當點Q在y軸右邊時，如圖1所示：
假設△QCO為等邊三角形，
過點Q作QH⊥OC於H，
∵點C （0，3），
∴OC＝3，
則OH＝
OC＝
，tan60°＝
，
∴QH＝OH•tan60°＝
×
＝
，
∴Q（
，
），
把x＝
代入y＝﹣
x2+
x+3，
得：y＝
﹣
≠
，
∴假設不成立，
∴當點Q在y軸右邊時，不存在△QCO為等邊三角形；
②當點Q在y軸的左邊時，如圖2所示：
假設△QCO為等邊三角形，
過點Q作QT⊥OC於T，
∵點C （0，3），
∴OC＝3，
則OT＝
OC＝
，tan60°＝
，
∴QT＝OT•tan60°＝
×
＝
，
∴Q（﹣
，
），
把x＝﹣
代入y＝﹣
x2+
x+3，
得：y＝﹣
﹣
≠
，
∴假設不成立，
∴當點Q在y軸左邊時，不存在△QCO為等邊三角形；
綜上所述，在拋物線上不存在一點Q，使得△QCO是等邊三角形；
（3）令﹣
x2+
x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（4，0），
設BC直線的解析式為：y＝kx+b，
把B、C的座標代入則
，
解得：
，
∴BC直線的解析式為：y＝﹣
x+3，
當⊙M與x軸相切時，如圖3所示：
延長PM交AB於點D，
則點D為⊙M與x軸的切點，即PM＝MD，
設P（x，﹣
x2+
x+3），M（x，﹣
x+3），
則PD＝﹣
x2+
x+3，MD＝﹣
x+3，
∴（﹣
x2+
x+3）﹣（﹣
x+3）＝﹣
x+3，
解得：x1＝1，x2＝4（不合題意捨去），
∴⊙M的半徑為：MD＝﹣
+3＝
；
當⊙M與y軸相切時，如圖4所示：
延長PM交AB於點D，過點M作ME⊥y軸於E，
則點E為⊙M與y軸的切點，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，
設P（x，﹣
x2+
x+3），M（x，﹣
x+3），
則PD＝﹣
x2+
x+3，MD＝﹣
x+3，
∴（﹣
x2+
x+3）﹣（﹣
x+3）＝x，
解得：x1＝
，x2＝0（不合題意捨去），
∴⊙M的半徑為：EM＝
；
綜上所述，⊙M的半徑為
或
．
【分析】（1）把點A（﹣1，0）和點C （0，3）代入y＝ax2+
x+c求出a與c的值即可得出拋物線的解析式；
（2）①當點Q在y軸右邊時，假設△QCO為等邊三角形，過點Q作QH⊥OC於H，OC＝3，則OH＝
，tan60°＝
，求出Q（
，
），把x＝
代入y＝﹣
x2+
x+3，得y＝
﹣
≠
，則假設不成立；
②當點Q在y軸的左邊時，假設△QCO為等邊三角形，過點Q作QT⊥OC於T，OC＝3，則OT＝
，tan60°＝
，求出Q（﹣
，
），把x＝﹣
代入y＝﹣
x2+
x+3，得y＝﹣
﹣
≠
，則假設不成立；
（3）求出B（4，0），待定係數法得出BC直線的解析式y＝﹣
x+3，當⊙M與x軸相切時，延長PM交AB於點D，則點D為⊙M與x軸的切點，即PM＝MD，設P（x，﹣
x2+
x+3），M（x，﹣
x+3），則PD＝﹣
x2+
x+3，MD＝﹣
x+3，由PD﹣MD＝MD，求出x＝1，即可得出結果；當⊙M與y軸相切時，延長PM交AB於點D，過點M作ME⊥y軸於E，則點E為⊙M與y軸的切點，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，設P（x，﹣
x2+
x+3），M（x，﹣
x+3），則PD＝﹣
x2+
x+3，MD＝﹣
x+3，代入即可得出結果．
知識點：各地中考
題型：綜合題
