如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=﹣1,且拋物線經過A(1,0),C(0,3)兩...
問題詳情:
如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=﹣1,且拋物線經過A(1,0),C(0,3)兩點,與x軸交於點B.
(1)若直線y=mx+n經過B、C兩點,求直線BC和拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對稱軸x=﹣1上找一點M,使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小,求出點M的座標;
(3)設點P為拋物線的對稱軸x=﹣1上的一個動點,求使△BPC為直角三角形的點P的座標.
【回答】
【考點】HF:二次函數綜合題.
【分析】(1)先把點A,C的座標分別代入拋物線解析式得到a和b,c的關係式,再根據拋物線的對稱軸方程可得a和b的關係,再聯立得到方程組,解方程組,求出a,b,c的值即可得到拋物線解析式;把B、C兩點的座標代入直線y=mx+n,解方程組求出m和n的值即可得到直線解析式;
(2)設直線BC與對稱軸x=﹣1的交點為M,則此時MA+MC的值最小.把x=﹣1代入直線y=x+3得y的值,即可求出點M座標;
(3)設P(﹣1,t),又因為B(﹣3,0),C(0,3),所以可得BC2=18,PB2=(﹣1+3)2+t2=4+t2,PC2=(﹣1)2+(t﹣3)2=t2﹣6t+10,再分三種情況分別討論求出符合題意t值即可求出點P的座標.
【解答】解:(1)依題意得:,
解之得:,
∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣2x+3
∵對稱軸為x=﹣1,且拋物線經過A(1,0),
∴把B(﹣3,0)、C(0,3)分別代入直線y=mx+n,
得,
解之得:,
∴直線y=mx+n的解析式為y=x+3;
(2)設直線BC與對稱軸x=﹣1的交點為M,則此時MA+MC的值最小.
把x=﹣1代入直線y=x+3得,y=2,
∴M(﹣1,2),
即當點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時M的座標為(﹣1,2);
(3)設P(﹣1,t),
又∵B(﹣3,0),C(0,3),
∴BC2=18,PB2=(﹣1+3)2+t2=4+t2,PC2=(﹣1)2+(t﹣3)2=t2﹣6t+10,
①若點B為直角頂點,則BC2+PB2=PC2即:18+4+t2=t2﹣6t+10解之得:t=﹣2;
②若點C為直角頂點,則BC2+PC2=PB2即:18+t2﹣6t+10=4+t2解之得:t=4,
③若點P為直角頂點,則PB2+PC2=BC2即:4+t2+t2﹣6t+10=18解之得:t1=,t2=;
綜上所述P的座標為(﹣1,﹣2)或(﹣1,4)或(﹣1,) 或(﹣1,).
【點評】本題綜合考查了二次函數的圖象與*質、待定係數法求函數(二次函數和一次函數)的解析式、利用軸對稱*質確定線段的最小長度、難度不是很大,是一道不錯的中考壓軸題.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題