（2019·海南中考模擬）如圖，對稱軸為直線x＝1的拋物線經過A（﹣1，0）、C（0，3）兩點，與x軸的另一個...
問題詳情：
（2019·海南中考模擬）如圖，對稱軸為直線x＝1的拋物線經過A（﹣1，0）、C（0，3）兩點，與x軸的另一個交點為B，點D在y軸上，且OB＝3OD
（1）求該拋物線的表達式；
（2）設該拋物線上的一個動點P的橫座標為t
①當0＜t＜3時，求四邊形CDBP的面積S與t的函數關係式，並求出S的最大值；
②點Q在直線BC上，若以CD為邊，點C、D、Q、P為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出所有符合條件的點P的座標．
【回答】
（1）y＝﹣x2+2x+3（2）①t＝
時，S的最大值為
②P（1，4）或（2，3）或（
，
）或（
，
）
【解析】
(1)∵拋物線的對稱軸為x＝1，A(﹣1，0)，
∴B(3，0)．
∴設所求拋物線的表達式為 y＝a(x+1)(x﹣3)，
把點C(0，3)代入，得3＝a(0+1)(0﹣3)，
解得a＝﹣1，
∴所求拋物線的表達式為y＝﹣(x+1)(x﹣3)，即y＝﹣x2+2x+3；
(2)①連結BC．
∵B(3，0)，C(0，3)，
∴直線BC的表達式為y＝﹣x+3，
∵OB＝3OD，OB＝OC＝3，
∴OD＝1，CD＝2，
過點P作PE∥y軸，交BC於點E(如圖1)．
設P(t，﹣t2+2t+3)，則E(t，﹣t+3)．
∴PE＝﹣t2+2t+3﹣(﹣t+3)＝﹣t2+3t．
S四邊形CDBP＝S△BCD+S△BPC＝
CD•OB+
PE•OB，
即S＝
×2×3+
(﹣t2+3t)×3＝﹣
(t﹣
)2+
，
∵a＝﹣
＜0，且0＜t＜3，
∴當t＝
時，S的最大值為
；
②以CD為邊，點C、D、Q、P為頂點的四邊形是平行四邊形，
則PQ∥CD，且PQ＝CD＝2．
∵點P在拋物線上，點Q在直線BC上，
∴點P(t，﹣t2+2t+3)，點Q(t，﹣t+3)．
分兩種情況討論：
(Ⅰ) 如圖2，當點P在點Q上方時，
∴(﹣t2+2t+3)﹣(﹣t+3)＝2．即t2﹣3t+2＝0．解得 t1＝1，t2＝2．
∴P1(1，4)，P2(2，3)，
(Ⅱ) 如圖3，當點P在點Q下方時，
∴(﹣t+3)﹣(﹣t2+2t+3)＝2．即t2﹣3t﹣2＝0．
解得 t3＝
，t4＝
，
∴P3(
，
)，P4(
，
)，
綜上所述，所有符合條件的點P的座標分別為：P(1，4)或(2，3)或(
，
)或(
，
)．
【點睛】
本題主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的座標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關係．
知識點：二次函數與一元二次方程
題型：綜合題
