已知拋物線（a＜0）的對稱軸為x＝－1，與x軸的一個交點為（3，0）．若關於x的一元二次方程（p＞0）有整數根...
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問題詳情：
已知拋物線
（a＜0）的對稱軸為 x＝－1，與 x 軸的一個交點為（3，0）．若關於 x 的一元二次方程 
（p＞0）有整數根，則p的值有（ ）
A．4個 B．3個 C．7個 D．5個
【回答】
A
【分析】
根據題意可知一元二次方程
（p＞0）的根應為整數，通過拋物線
（a＜0）的對稱軸為
與x軸的一個交點為
．可以畫出大致圖象判斷出直線y=p（0＜p≤
）與二次函數
的交點位置與個數，觀察圖象當0＜y≤
時，拋物線始終與x軸相交於
與
．故自變量x的取值範圍為
＜x＜
．所以x可以取得整數
，共
個．而
與
，
與
，
與x=0關於直線
成軸對稱，從而確定y=p時，滿足條件的p的值應有
個．
【詳解】
解：∵拋物線
（a＜0）的對稱軸為
∴
解得：b=2a．
又∵拋物線
（a＜0）與x軸的一個交點為
．
把
代入
得，
，
解得，
∴
（a＜0）
由對稱軸
所以最大值
，
如圖所示，頂點座標為
，
由拋物線的對稱*可得：拋物線始終與x軸的另一個交點為：
，
∴
即常函數直線y=p，且p＞0
∴0＜y≤
，
由圖象得當0＜y≤
時，
＜x＜
，
其中x為整數時，
，
∴一元二次方程
（p＞0）有整數解，
方程的解一定為：
中的一個或兩個，
又∵
與
，
與
，
與x=0關於直線
成軸對稱，
而當
時，直線y=p恰好過拋物線頂點．
所以p值可以有
個．
故選：
．
【點睛】
本題考查了二次函數圖象與x軸及直線y=p（p＞0）的交點橫座標與一元二次方程的根的關係，掌握利用數形結合的思想解題是關鍵．
知識點：二次函數的圖象和*質
題型：選擇題
