如圖,已知二次函數的圖象過點O(0,0).A(8,4),與x軸交於另一點B,且對稱軸是直線x=3.(1)求該二...
問題詳情:
如圖,已知二次函數的圖象過點O(0,0).A(8,4),與x軸交於另一點B,且對稱軸是直線x=3.
(1)求該二次函數的解析式;
(2)若M是OB上的一點,作MN∥AB交OA於N,當△ANM面積最大時,求M的座標;
(3)P是x軸上的點,過P作PQ⊥x軸與拋物線交於Q.過A作AC⊥x軸於C,當以O,P,Q為頂點的三角形與以O,A,C為頂點的三角形相似時,求P點的座標.
【回答】
【解答】解:(1)∵拋物線過原點,對稱軸是直線x=3,
∴B點座標為(6,0),
設拋物線解析式為y=ax(x﹣6),
把A(8,4)代入得a•8•2=4,解得a=,
∴拋物線解析式為y=x(x﹣6),即y=x2﹣x;
(2)設M(t,0),
易得直線OA的解析式為y=x,
設直線AB的解析式為y=kx+b,
把B(6,0),A(8,4)代入得,解得,
∴直線AB的解析式為y=2x﹣12,
∵MN∥AB,
∴設直線MN的解析式為y=2x+n,
把M(t,0)代入得2t+n=0,解得n=﹣2t,
∴直線MN的解析式為y=2x﹣2t,
解方程組得,則N(t,t),
∴S△AMN=S△AOM﹣S△NOM
=•4•t﹣•t•t
=﹣t2+2t
=﹣(t﹣3)2+3,
當t=3時,S△AMN有最大值3,此時M點座標為(3,0);
(3)設Q(m,m2﹣m),
∵∠OPQ=∠ACO,
∴當=時,△PQO∽△COA,即=,
∴PQ=2PO,即|m2﹣m|=2|m|,
解方程m2﹣m=2m得m1=0(捨去),m2=14,此時P點座標為(14,28);
解方程m2﹣m=﹣2m得m1=0(捨去),m2=﹣2,此時P點座標為(﹣2,4);
∴當=時,△PQO∽△CAO,即=,
∴PQ=PO,即|m2﹣m|=|m|,
解方程m2﹣m=m得m1=0(捨去),m2=8(捨去),
解方程m2﹣m=﹣m得m1=0(捨去),m2=2,此時P點座標為(2,﹣1);
綜上所述,P點座標為(14,28)或(﹣2,4)或(2,﹣1).
【點評】本題考查了二次函數的綜合題:熟練掌握二次函數圖象上點的座標特徵和二次函數的*質;會利用待定係數法求函數解析式;理解座標與圖形*質;靈活運用相似比表示線段之間的關係;會運用分類討論的思想解決數學問題.
知識點:各地中考
題型:綜合題