如圖,拋物線y=ax2+bx+c的圖象經過點A(﹣2,0),點B(4,0),點D(2,4),與y軸交於點C,作...
問題詳情:
如圖,拋物線y=ax2+bx+c的圖象經過點A(﹣2,0),點B(4,0),點D(2,4),與y軸交於點C,作直線BC,連接AC,CD.
(1)求拋物線的函數表達式;
(2)E是拋物線上的點,求滿足∠ECD=∠ACO的點E的座標;
(3)點M在y軸上且位於點C上方,點N在直線BC上,點P為第一象限內拋物線上一點,若以點C,M,N,P為頂點的四邊形是菱形,求菱形的邊長.
【回答】
【考點】二次函數綜合題.
【分析】(1)用待定係數法求出拋物線解析式即可.
(2)分①點E在直線CD上方的拋物線上和②點E在直線CD下方的拋物線上兩種情況,用三角函數求解即可;
(3)分①CM為菱形的邊和②CM為菱形的對角線,用菱形的*質進行計算;
【解答】解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c的圖象經過點A(﹣2,0),點B(4,0),點D(2,4),
∴設拋物線解析式為y=a(x+2)(x﹣4),
∴﹣8a=4,
∴a=﹣,
∴拋物線解析式為y=﹣(x+2)(x﹣4)=﹣x2+x+4;
(2)如圖1,
①點E在直線CD上方的拋物線上,記E′,
連接CE′,過E′作E′F′⊥CD,垂足為F′,
由(1)知,OC=4,
∵∠ACO=∠E′CF′,
∴tan∠ACO=tan∠E′CF′,
∴=,
設線段E′F′=h,則CF′=2h,
∴點E′(2h,h+4)
∵點E′在拋物線上,
∴﹣(2h)2+2h+4=h+4,
∴h=0(舍)h=
∴E′(1,),
②點E在直線CD下方的拋物線上,記E,
同①的方法得,E(3,),
點E的座標為(1,),(3,)
(3)①CM為菱形的邊,如圖2,
在第一象限內取點P′,過點
P′作P′N′∥y軸,交BC於N′,過點P′作P′M′∥BC,
交y軸於M′,
∴四邊形CM′P′N′是平行四邊形,
∵四邊形CM′P′N′是菱形,
∴P′M′=P′N′,
過點P′作P′Q′⊥y軸,垂足為Q′,
∵OC=OB,∠BOC=90°,
∴∠OCB=45°,
∴∠P′M′C=45°,
設點P′(m,﹣ m2+m+4),
在Rt△P′M′Q′中,P′Q′=m,P′M′=m,
∵B(4,0),C(0,4),
∴直線BC的解析式為y=﹣x+4,
∵P′N′∥y軸,
∴N′(m,﹣m+4),
∴P′N′=﹣m2+m+4﹣(﹣m+4)=﹣m2+2m,
∴m=﹣m2+2m,
∴m=0(舍)或m=4﹣2,
菱形CM′P′N′的邊長為(4﹣2)=4﹣4.
②CM為菱形的對角線,如圖3,
在第一象限內拋物線上取點P,過點P作PM∥BC,
交y軸於點M,連接CP,過點M作MN∥CP,交BC於N,
∴四邊形CPMN是平行四邊形,連接PN交CM於點Q,
∵四邊形CPMN是菱形,
∴PQ⊥CM,∠PCQ=∠NCQ,
∵∠OCB=45°,
∴∠NCQ=45°,
∴∠PCQ=45°,
∴∠CPQ=∠PCQ=45°,
∴PQ=CQ,
設點P(n,﹣ n2+n+4),
∴CQ=n,OQ=n+2,
∴n+4=﹣n2+n+4,
∴n=0(舍),
∴此種情況不存在.
∴菱形的邊長為4﹣4.
【點評】此題是二次函數綜合題,主要考查了待定係數法求拋物線解析式,菱形的*質,平行四邊形的*質,判定,鋭角三角函數,解本題的關鍵是用等角的同名三角函數值相等建立方程求解.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題