如圖，已知拋物線y=x2+bx+c經過△ABC的三個頂點，其中點A（0，1），點B（-9，10），AC∥x軸，...

問題詳情：

如圖，已知拋物線y=x2+bx+c經過△ABC的三個頂點，其中點A（0，1），點B（-9，10），AC∥x軸，點P是直線AC下方拋物線上的動點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）過點P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交於點E、F，當四邊形AECP的面積最大時，求點P的座標；

（3）當點P為拋物線的頂點時，在直線AC上是否存在點Q，使得以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，若存在，求出點Q的座標，若不存在，請説明理由．

【回答】

(1) 拋物線的解析式為y=x2+2x+1，(2) 四邊形AECP的面積的最大值是，點P（，﹣）；(3) Q（-4,1）或（3，1）.

【分析】

(1)把點A，B的座標代入拋物線的解析式中，求b，c；(2)設P(m，m2−2m＋1)，根據S四邊形AECP＝S△AEC＋S△APC，把S四邊形AECP用含m式子表示，根據二次函數的*質求解；(3)設Q(t，1)，分別求出點A，B，C，P的座標，求出AB，BC，CA；用含t的式子表示出PQ，CQ，判斷出∠BAC＝∠PCA＝45°，則要分兩種情況討論，根據相似三角形的對應邊成比例求t.

【詳解】

解：(1)將A(0，1)，B(-9，10)代入函數解析式得：

×81-9b＋c＝10，c＝1，解得b＝2，c＝1，

所以拋物線的解析式y＝x2+2x＋1；

(2)∵AC∥x軸，A(0，1)，

∴x2+2x＋1＝1，解得x1＝-6，x2＝0(舍)，即C點座標為(-6，1)，

∵點A(0，1)，點B(-9，10)，

∴直線AB的解析式為y＝-x＋1，設P(m，m2+2m＋1)，∴E(m，-m＋1)，

∴PE＝-m＋1−(m2+2m＋1)＝−m2-3m.

∵AC⊥PE，AC＝6，

∴S四邊形AECP＝S△AEC＋S△APC＝AC⋅EF＋AC⋅PF

＝AC⋅(EF＋PF)＝AC⋅EP

＝×6(−m2-3m)＝−m2-9m.

∵-6<m<0，

∴當m＝時，四邊形AECP的面積最大值是，此時P()；

(3)∵y＝x2+2x＋1＝(x+3)2−2，

P(-3，−2)，PF＝yF−yp＝3，CF＝xF−xC＝3，

∴PF＝CF，∴∠PCF＝45∘，

同理可得∠EAF＝45∘，∴∠PCF＝∠EAF，

∴在直線AC上存在滿足條件的點Q，

設Q(t，1)且AB＝，AC＝6，CP＝，

∵以C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似，

①當△CPQ∽△ABC時，

CQ:AC＝CP:AB，(t+6):6＝，解得t＝-4，所以Q(-4，1)；

②當△CQP∽△ABC時，

CQ:AB＝CP:AC，(t+6)6，解得t＝3，所以Q(3，1).

綜上所述：當點P為拋物線的頂點時，在直線AC上存在點Q，使得以C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似，Q點的座標為(-4，1)或(3，1).

【點睛】

本題考查了二次函數綜合題，解（1）的關鍵是待定係數法；解（2）的關鍵是利用面積的和差得出二次函數，又利用了二次函數的*質，平行於座標軸的直線上兩點間的距離是較大的座標減較小的座標；解（3）的關鍵是利用相似三角形的*質的出關於CQ的比例，要分類討論，以防遺漏．

知識點：二次函數單元測試

題型：解答題