若二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸、y軸分別交於點A(3,0)、B(0,﹣2),且過點C(2,﹣2)....
問題詳情:
若二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸、y軸分別交於點A(3,0)、B(0,﹣2),且過點C(2,﹣2).
(1)求二次函數表達式;
(2)若點P為拋物線上第一象限內的點,且S△PBA=4,求點P的座標;
(3)在拋物線上(AB下方)是否存在點M,使∠ABO=∠ABM?若存在,求出點M到y軸的距離;若不存在,請説明理由.
【回答】
【分析】(1)用A、B、C三點座標代入,用待定係數法求二次函數表達式.
(2)設點P橫座標為t,用t代入二次函數表達式得其縱座標.把t當常數求直線BP解析式,進而求直線BP與x軸交點C座標(用t表示),即能用t表示AC的長.把△PBA以x軸為界分成△ABC與△ACP,即得到S△PBA=AC(OB+PD)=4,用含t的式子代入即得到關於t的方程,解之即求得點P座標.
(3)作點O關於直線AB的對稱點E,根據軸對稱*質即有AB垂直平分OE,連接BE交拋物線於點M,即有BE=OB,根據等腰三角形三線合一得∠ABO=∠ABM,即在拋物線上(AB下方)存在點M使∠ABO=∠ABM.設AB與OE交於點G,則G為OE中點且OG⊥AB,利用△OAB面積即求得OG進而得OE的長.易求得∠OAB=∠BOG,求∠OAB的正弦和餘弦值,應用到Rt△OEF即求得OF、EF的長,即得到點E座標.求直線BE解析式,把BE解析式與拋物線解析式聯立,求得x的解一個為點B橫座標,另一個即為點M橫座標,即求出點M到y軸的距離.
【解答】解:(1)∵二次函數的圖象經過點A(3,0)、B(0,﹣2)、C(2,﹣2)
∴ 解得:
∴二次函數表達式為y=x2﹣x﹣2
(2)如圖1,設直線BP交x軸於點C,過點P作PD⊥x軸於點D
設P(t,t2﹣t﹣2)(t>3)
∴OD=t,PD=t2﹣t﹣2
設直線BP解析式為y=kx﹣2
把點P代入得:kt﹣2=t2﹣t﹣2
∴k=t﹣
∴直線BP:y=(t﹣)x﹣2
當y=0時,(t﹣)x﹣2=0,解得:x=
∴C(,0)
∵t>3
∴t﹣2>1
∴,即點C一定在點A左側
∴AC=3﹣
∵S△PBA=S△ABC+S△ACP=AC•OB+AC•PD=AC(OB+PD)=4
∴=4
解得:t1=4,t2=﹣1(捨去)
∴t2﹣t﹣2=
∴點P的座標為(4,)
(3)在拋物線上(AB下方)存在點M,使∠ABO=∠ABM.
如圖2,作點O關於直線AB的對稱點E,連接OE交AB於點G,連接BE交拋物線於點M,過點E作EF⊥y軸於點F
∴AB垂直平分OE
∴BE=OB,OG=GE
∴∠ABO=∠ABM
∵A(3,0)、B(0,﹣2),∠AOB=90°
∴OA=3,OB=2,AB=
∴sin∠OAB=,cos∠OAB=
∵S△AOB=OA•OB=AB•OG
∴OG=
∴OE=2OG=
∵∠OAB+∠AOG=∠AOG+∠BOG=90°
∴∠OAB=∠BOG
∴Rt△OEF中,sin∠BOG=,cos∠BOG=
∴EF=OE=,OF=OE=
∴E(,﹣)
設直線BE解析式為y=ex﹣2
把點E代入得:e﹣2=﹣,解得:e=﹣
∴直線BE:y=﹣x﹣2
當﹣x﹣2=x2﹣x﹣2,解得:x1=0(捨去),x2=
∴點M橫座標為,即點M到y軸的距離為.
【點評】本題考查了待定係數法求二次函數、一次函數解析式,一元二次方程的解法,軸對稱的*質,等腰三角形*質,三角函數的應用.第(3)題點的存在*問題,可先通過畫圖確定滿足∠ABO=∠ABM的點M位置,通過相似三角形對應邊成比例或三角函數為等量關係求線段的長.
知識點:各地中考
題型:綜合題