已知拋物線y=ax2+bx+c與直線y=mx+n相交於兩點,這兩點的座標分別是(0,-)和(m-b,m2-mb...
問題詳情:
已知拋物線y=ax2+bx+c與直線y=mx+n相交於兩點,這兩點的座標分別是(0,-)和(m-b, m2-mb+n),其中 a,b,c,m,n為實數,且a,m不為0. (Ⅰ)求c的值; (Ⅱ)求*:拋物線y=ax2+bx+c與x軸有兩個交點; (Ⅲ)當-1≤x≤1時,設拋物線y=ax2+bx+c上與x軸距離最大的點為P(x0,y0),求這時|y0|的最小值.
【回答】
解:(Ⅰ)把點(0,-)代入拋物線,得:c=-; (Ⅱ)把點(0,-)代入直線得:n=-. 把點(m-b,m2-mb+n)代入拋物線,得: a(m-b)2+b(m-b)+c=m2-mb+n ∵c=n=-, ∴a(m-b)2+b(m-b)=m2-mb, am2-2abm+ab2+bm-b2-m2+mb=0, (a-1)m2-(a-1)•2bm+(a-1)b2=0, (a-1)(m2-2bm+b2)=0, (a-1)(m-b)2=0, 若m-b=0,則(m-b,m2-mb+n)與(0,-)重合,與題意不合,
∴a=1, ∵拋物線y=ax2+bx+c=x2+bx-,b2-4ac=b2-4×
(-)=b2+2>0,
∴拋物線y=ax2+bx+c與x軸有兩個交點; (Ⅲ)y=x2+bx-,頂點(-,--),
設拋物線y=x2+bx-在x軸上方與x軸距離最大的點的縱座標為H,在x軸下方與x軸距離最大的點的縱座標為h, ①當-<-1時,即b>2時,在x軸上方與x軸距離最大的點是(1,y0),
∴|H|=y0=+b>, 在x軸下方與x軸距離最大的點是(-1,y0), ∴|h|=|y0|=|-b|=b->, ∴|H|>|h|, ∴這時|y0|的最小值大於, ②當-1≤-≤0時,即0≤b≤2時,在x軸上方與x軸距離最大的點是(1,y0), ∴|H|=y0=+b≥,當b=0時等號成立, 在x軸下方與x軸距離最大的點是(-,--), ∴|h|=|--|=≥, 當b=0時等號成立, ∴這時|y0|的最小值等於, ③當0<-≤1,即-2≤b<0時, 在x軸上方與x軸距離最大的點是(-1,y0), ∴|H|=y0=|1+(-1)b-|=|-b|=-b>, 在x軸下方與x軸距離最大的點是(-,--), ∴|h|=|y0|=|--|=>, ∴這時|y0|的最小值大於; ④當1<-時,即b<-2時,在x軸上方與x軸距離最大的點是(-1,y0), ∴|H|=-b>, 在x軸下方與x軸距離最大的點是(1,y0), ∴|h|=|+b|=-(b+)>, ∴|H|>|h|, ∴這時|y0|的最小值大於, 綜上所述:當b=0,x0=0時,這時|y0|取最小值為.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:解答題