.已知直線y=2x＋m與拋物線y=ax2＋ax＋b有一個公共點M(1,0),且a＜b.(Ⅰ)求拋物線頂點Q的坐...

問題詳情：

.已知直線y=2x＋m與拋物線y=ax2＋ax＋b有一個公共點M(1,0),且a＜b.

(Ⅰ)求拋物線頂點Q的座標(用含a的代數式表示);

(Ⅱ)説明直線與拋物線有兩個交點;

(Ⅲ)直線與拋物線的另一個交點記為N,若－1≤a≤－,求線段MN長度的取值範圍;

【回答】

解:(Ⅰ)∵拋物線過點M(1,0),

∴a＋a＋b=0,即b=－2a,

∵y=ax2＋ax＋b=ax2＋ax－2a=a(x＋)2－,

∴拋物線頂點Q的座標為(－,－);

(Ⅱ)∵直線y=2x＋m經過點M(1,0),

∴0=2×1＋m,解得m=－2,

把y=2x－2代入y=ax2＋ax－2a,得ax2＋(a－2)x－2a＋2=0①,

∴Δ=(a－2)2－4a(－2a＋2)=9a2－12a＋4,

又∵a＜b,b=－2a,

∴a＜0,b＞0,

∴Δ=9a2－12a＋4＞0,

∴方程①有兩個不相等的實數根,

∴直線與拋物線有兩個交點;

（Ⅲ）把y=2x－2代入y=ax2＋ax－2a,得ax2＋(a－2)x－2a＋2=0,

即x2＋(1－)x－2＋=0,

∴[x＋(－)]2=(－)2,解得x1=1,x2=－2,

將x=－2代入y=2x－2得y=－6,

∴點N(－2,－6),

根據兩點間的距離公式得,

MN 2=[(－2)－1]2＋(－6)2=－＋45=20(－)2,

∵－1≤a≤－,則－2≤≤－1,

∴－＜0,

∴MN=2(－)=3－,

又∵－1≤a≤－,

∴5≤MN≤7.

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題