如圖，在平面直角座標系中，拋物線y＝x2＋bx＋c經過點A(0，－6)和點C(6，0)．(1)求拋物線的解析式...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系中，拋物線y＝x2＋bx＋c經過點A(0，－6)和點C(6，0)．

(1)求拋物線的解析式；

(2)若拋物線與x軸的負半軸交於點B，試判斷△ABC的形狀；(鈍角三角形、直角三角形、鋭角三角形)

(3)在拋物線上是否存在點P，使得△PAC是以AC為底的等腰三角形？若存在，請求出所有點P的座標；若不存在，請説明理由．

第3題圖

【回答】

解：(1)將C、A兩點座標代入y＝x2＋bx＋c，可得，

解得，

∴拋物線的解析式為y＝x2－5x－6；

(2)當y＝0時，則有：x2－5x－6＝0，

即(x＋1)(x－6)＝0，

∴解得x1＝－1，x2＝6(舍)，

∴B(－1，0)．

由兩點之間的距離公式可得：

BC2＝[(－1)－6]2＝49，

AC2＝(6－0)2＋[0－(－6)]2＝72，

AB2＝(－1－0)2＋[0－(－6)]2＝37，

∵AB2＋BC2>AC2，

∴△ABC為鋭角三角形．

(3)存在滿足條件的點P，使得△PAC是以AC為底的等腰三角形

理由：如解圖，過線段AC的中點M，作AC的垂線交拋物線於點P，

第3題解圖

直線MP與拋物線必有兩個滿足條件的交點P，

∵A(0，－6)，C(6，0)，

∴點M的座標為(3，－3)，且OA=OC，

∴直線MP過點O，

設直線MP的解析式為y＝kx，

將點M(3，－3)代入得，k＝－1，

即直線MP的解析式為y＝－x，

聯立，

解得

∴點P的座標為(2－，－2)或(2＋，－2－)．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題