如圖，在平面直角座標系中，已知拋物線y＝x2+bx+c過A，B，C三點，點A的座標是（3，0），點C的座標是（...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系中，已知拋物線y＝x2+bx+c過A，B，C三點，點A的座標是（3，0），點C的座標是（0，﹣3），動點P在拋物線上．

（1）b＝　   　，c＝　   　，點B的座標為　   　；（直接填寫結果）

（2）是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的座標；若不存在，説明理由；

（3）過動點P作PE垂直y軸於點E，交直線AC於點D，過點D作x軸的垂線．垂足為F，連接EF，當線段EF的長度最短時，求出點P的座標．

【回答】

解：（1）∵將點A和點C的座標代入拋物線的解析式得：，解得：b＝﹣2，c＝﹣3．

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3．

∵令x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3．

∴點B的座標為（﹣1，0）．

故*為：﹣2；﹣3；（﹣1，0）．

（2）存在．

理由：如圖所示：

①當∠ACP1＝90°．

由（1）可知點A的座標為（3，0）．

設AC的解析式為y＝kx﹣3．

∵將點A的座標代入得3k﹣3＝0，解得k＝1，

∴直線AC的解析式為y＝x﹣3．

∴直線CP1的解析式為y＝﹣x﹣3．

∵將y＝﹣x﹣3與y＝x2﹣2x﹣3聯立解得x1＝1，x2＝0（捨去），

∴點P1的座標為（1，﹣4）．

②當∠P2AC＝90°時．

設AP2的解析式為y＝﹣x+b．

∵將x＝3，y＝0代入得：﹣3+b＝0，解得b＝3．

∴直線AP2的解析式為y＝﹣x+3．

∵將y＝﹣x+3與y＝x2﹣2x﹣3聯立解得x1＝﹣2，x2＝3（捨去），

∴點P2的座標為（﹣2，5）．

綜上所述，P的座標是（1，﹣4）或（﹣2，5）．

（3）如圖2所示：連接OD．

由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD＝EF．

根據垂線段最短，可得當OD⊥AC時，OD最短，即EF最短．

由（1）可知，在Rt△AOC中，

∵OC＝OA＝3，OD⊥AC，

∴D是AC的中點．

又∵DF∥OC，

∴．

∴點P的縱座標是．

∴，解得：．

∴當EF最短時，點P的座標是：（，）或（，）．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題