已知：如圖，在平面直角座標系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，點A，C的座標分別為A（﹣3，0），C...

問題詳情：

已知：如圖，在平面直角座標系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，點A，C的座標分別為A（﹣3，0），C（1，0），BC＝AC

（1）求過點A，B的直線的函數表達式；

（2）在x軸上找一點D，連接DB，使得△ADB與△ABC相似（不包括全等），並求點D的座標；

（3）在（2）的條件下，如P，Q分別是AB和AD上的動點，連接PQ，設AP＝DQ＝m，問是否存在這樣的m，使得△APQ與△ADB相似？如存在，請求出m的值；如不存在，請説明理由．

【回答】

（1）y＝x+；（2）D點位置見解析，D（，0）；（3）符合要求的m的值為或．

【分析】

（1）先根據A（−3，1），C（1，0），求出AC進而得出BC＝3求出B點座標，利用待定係數法求出直線AB的解析式即可；

（2）運用相似三角形的*質就可求出點D的座標；

（3）由於△APQ與△ADB已有一組公共角相等，只需分△APQ∽△ABD和△APQ∽△ADB兩種情況討論，然後運用相似三角形的*質建立關於m的方程，就可解決問題．

【詳解】

解：（1）∵A（﹣3，0），C（1，0），

∴AC＝4，

∵BC＝AC，

∴BC＝×4＝3，

∴B（1，3），

設直線AB的解析式為y＝kx+b，

∴，

∴，

∴直線AB的解析式為y＝x+；

（2）若△ADB與△ABC相似，過點B作BD⊥AB交x軸於D，

∴∠ABD＝∠ACB＝90°，如圖1，

此時＝，即AB2＝AC•AD．

∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，

∴AB＝5，

∴25＝4AD，

∴AD＝，

∴OD＝AD﹣AO＝﹣3＝，

∴點D的座標為（，0）；

（3）∵AP＝DQ＝m，

∴AQ＝AD﹣QD＝﹣m．

Ⅰ、若△APQ∽△ABD，如圖2，

則有＝，

∴AP•AD＝AB•AQ，

∴m＝5（﹣m），

解得m＝；

Ⅱ、若△APQ∽△ADB，如圖3，

則有＝，

∴AP•AB＝AD•AQ，

∴5m＝（﹣m），

解得：m＝，

綜上所述：符合要求的m的值為或．

【點睛】

此題是相似形綜合題，主要考查了是待定係數法，相似三角形的判定與*質、勾股定理等知識，也考查了分類討論的數學思想，屬於中檔題，解本題的關鍵是根據相似建立方程求解．

知識點：相似三角形

題型：解答題