如圖,在平面直角座標系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,OA=1,OC=4,拋物線y=x...
問題詳情:
如圖,在平面直角座標系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,OA=1,OC=4,拋物線y=x2+bx+c經過A,B兩點,拋物線的頂點為D.
(1)求b,c的值;
(2)點E是直角三角形ABC斜邊AB上一動點(點A、B除外),過點E作x軸的垂線交拋物線於點F,當線段EF的長度最大時,求點E的座標;
(3)在(2)的條件下:
①求以點E、B、F、D為頂點的四邊形的面積;
②在拋物線上是否存在一點P,使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有點P的座標;若不存在,説明理由.
【回答】
解:(1)由已知得:A(﹣1,0),B(4,5),
∵二次函數y=x2+bx+c的圖象經過點A(﹣1,0),B(4,5),
∴,
解得:b=﹣2,c=﹣3;
(2)如圖:∵直線AB經過點A(﹣1,0),B(4,5),
∴直線AB的解析式為:y=x+1,
∵二次函數y=x2﹣2x﹣3,
∴設點E(t,t+1),則F(t,t2﹣2t﹣3),
∴EF=(t+1)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣(t﹣)2+,
∴當t=時,EF的最大值為,
∴點E的座標為(,);
(3)①如圖:順次連接點E、B、F、D得四邊形EBFD.
可求出點F的座標(,),點D的座標為(1,﹣4)
S四邊形EBFD=S△BEF+S△DEF=××(4﹣)+××(﹣1)=;
②如圖:
ⅰ)過點E作a⊥EF交拋物線於點P,設點P(m,m2﹣2m﹣3)
則有:m2﹣2m﹣3=,
解得:m1=1+,m2=1﹣,
∴P1(1﹣,),P2(1+,),
ⅱ)過點F作b⊥EF交拋物線於P3,設P3(n,n2﹣2n﹣3)
則有:n2﹣2n﹣3=﹣,
解得:n1=,n2=(與點F重合,捨去),
∴P3(,﹣),
綜上所述:所有點P的座標:P1(1+,),P2(1﹣,),P3(,﹣)能使△EFP組成以EF為直角邊的直角三角形.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題