（1）△ABC和△CDE是兩個等腰直角三角形，如圖1，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，連結AD、BE，求*：△...
問題詳情：
（1）△ABC和△CDE是兩個等腰直角三角形，如圖1，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，連結AD、BE，求*：△ACD≌△BCE．
（2）△ABC和△CDE是兩個含30°的直角三角形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝30°，CD＜AC，△CDE從邊CD與AC重合開始繞點C逆時針旋轉一定角度α（0°＜α＜180°）；
①如圖2，DE與BC交於點F，與AB交於點G，連結AD，若四邊形ADEC為平行四邊形，求
的值；
②若AB＝10，DE＝8，連結BD、BE，當以點B、D、E為頂點的三角形是直角三角形時，求BE的長．
【回答】
【解析】（1）*：∵△ABC和△CDE是兩個等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）解：①連接CG，如圖2所示：
∵四邊形ADEC為平行四邊形，
∴AD∥CE，
∴∠ADE+∠CED＝180°，
∵∠CED＝90°﹣∠CDE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ADE＝120°，
∴∠ADC＝∠ADE﹣∠CDE＝90°，
∵∠CAB＝∠CDE＝30°，
∴A、D、G、C四點共圓，
∴∠AGC＝∠ADC＝90°，
∵∠CAB＝30°，
∴CG＝
AC，AG＝
CG，∠BCG＝30°，
∴CG＝
BG，即BG＝
CG，
∴
＝3；
②分三種情況：
當∠BED＝90°時，如圖3所示：
∵△ABC和△CDE是兩個含30°的直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝30°，
∴∠ACD＝∠BCE，
，
∴△ACD∽△BCE，
∴
＝
，
∴AD＝
BE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°+∠CED＝90°+60°＝150°，
∵∠CDE＝30°，
∴∠CDE+∠ADC＝180°，
∴A、D、E共線，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，
即（
BE+8）2+BE2＝102，
解得：BE＝﹣2
±
（負值捨去），
∴BE＝﹣2
+
；
當∠DBE＝90°時，如圖4所示：
作CF⊥AB於F，則∠BCF＝30°，
∴BF＝
BC，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝30°，
∴BC＝
AB＝5，CE
DE＝4，
∴CD＝
CE＝4
，
∴BF＝
BC＝
，
∴CF＝
BF＝
，
∴DF＝
，
∵AB＝AD+DF+BF，
∴AD＝10﹣
，
∴BE＝
；
當∠BDE＝90°時，如圖5所示：
作BG⊥CD於G，則∠BDG＝∠BDE﹣∠CDE＝60°，
∴∠DBG＝30°，∴BD＝2DG，BG＝
DG，
設DG＝x，則CG＝4
﹣x，BG＝
x，
在Rt△BCG中，由勾股定理得：CG2+BG2＝BC2，
即（4
﹣x）2+（
x）2＝52，
整理得：4x
x+23＝0，
∵△＝（﹣8
）2﹣4×4×23＜0，∴此方程無解；
綜上所述，當以點B、D、E為頂點的三角形是直角三角形時，BE的長為﹣2
+
或
．
知識點：相似三角形
題型：綜合題
