閲讀材料   如圖①，△ABC與△DEF都是等腰直角三角形，ACB=∠EDF=90°，且點D在AB邊上，AB、...

問題詳情：

閲讀材料

    如圖①，△ABC與△DEF都是等腰直角三角形，ACB=∠EDF=90°，且點D在AB邊上，AB、EF的中點均為O，連結BF、CD、CO，顯然點C、F、O在同一條直線上，可以*△BOF≌△COD，則BF=CD．解決問題：

（1）將圖①中的Rt△DEF繞點O旋轉得到圖②，猜想此時線段BF與CD的數量關係，

     並*你的結論；

（2）如圖③，若△ABC與△DEF都是等邊三角形，AB、EF的中點均為O，上述（1）中的

  結論仍然成立嗎？如果成立，請説明理由；如不成立，請求出BF與CD之間的數量關係；

（3）如圖④，若△ABC與△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中點均為0，且頂角

   ∠ACB=∠EDF=α，請直接寫出的值（用含α的式子表示出來）

【回答】

解：（1）猜想：BF=CD．理由如下：如答圖②所示，連接OC、OD．

∵△ABC為等腰直角三角形，點O為斜邊AB的中點，

∴OB=OC，∠BOC=90°．

∵△DEF為等腰直角三角形，點O為斜邊EF的中點，

∴OF=OD，∠DOF=90°．

∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，

∴∠BOF=∠COD．

∵在△BOF與△COD中，                    ∴△BOF≌△COD（SAS），∴BF=CD．

（2）答：（1）中的結論不成立．

如答圖③所示，連接OC、OD．

∵△ABC為等邊三角形，點O為邊AB的中點，

∴∠BOC=90°,                  .

∵△DEF為等邊三角形，點O為邊EF的中點，

∴∠DOF=90°，

∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，

∴∠BOF=∠COD．

在△BOF與△COD中，

∵                 ，∠BOF=∠COD，∴△BOF∽△COD，

∴

（3）如答圖④所示，連接OC、OD．

∵△ABC為等腰三角形，點O為邊AB的中點，

∴∠BOC=90°，

∵△DEF為等邊三角形，點O為邊EF的中點，

∴，∠DOF=90°．             ∴

∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，

∴∠BOF=∠COD．

在△BOF與△COD中，∵                    ，∠BOF=∠COD，

∴△BOF∽△COD，

∴ ．

知識點：相似三角形

題型：綜合題