如圖1,△ABC和△CDE都是等腰直角三角形,∠C=90°,將△CDE繞點C逆時針旋轉一個角度α(0°<α<9...
問題詳情:
如圖1,△ABC和△CDE都是等腰直角三角形,∠C=90°,將△CDE繞點C逆時針旋轉一個角度α(0°<α<90°),使點A,D,E在同一直線上,連接AD,BE.
(1)①依題意補全圖2;
②求*:AD=BE,且AD⊥BE;
③作CM⊥DE,垂足為M,請用等式表示出線段CM,AE,BE之間的數量關係;
(2)如圖3,正方形ABCD邊長為,若點P滿足PD=1,且∠BPD=90°,請直接寫出點A到BP的距離.
【回答】
【考點】幾何變換綜合題.
【分析】(1)①根據旋轉的特*畫出圖象;②由∠ACD、∠BCE均與∠DCB互餘可得出∠ACD=∠BCE,由△ABC和△CDE都是等腰直角三角形可得出AC=BC、DC=EC,結合全等三角形的判定定理SAS即可得出△ADC≌△BEC,從而得出AD=BE,再由∠BCE=∠ADC=135°,∠CED=45°即可得出∠AEB=90°,即*出AD⊥BE;③依照題意畫出圖形,根據組合圖形的面積為兩個三角形的面積和可用AE,BE去表示CM;
(2)根據題意畫出圖形,比照(1)③的結論,套入數據即可得出結論.
【解答】解:(1)①依照題意補全圖2,如下圖(一)所示.
②*:∵∠ACD+∠DCB=∠ACB=90°,∠BCE+∠DCB=∠DCE=90°,
∴∠ACD=∠BCE.
∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形,
∴AC=BC,DC=EC.
在△ADC和△BEC中,有,
∴△ADC≌△BEC(SAS),
∴AD=BE,∠BEC=∠ADC.
∵點A,D,E在同一直線上,△CDE是等腰直角三角形,
∴∠CDE=∠CED=45°,∠ADC=180°﹣∠CDE=135°,
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=135°﹣45°=90°,
∴AD⊥BE.
③依照題意畫出圖形,如圖(二)所示.
∵S△ABC+S△EBC=S△CAE+S△EAB,
即AC•BC+BE•CM=AE(CM+BE),
∴AC2﹣AE•BE=CM(AE﹣BE).
∵△CDE為等腰直角三角形,
∴DE=2CM,
∴AE﹣BE=2CM.
(2)依照題意畫出圖形(三).
其中AB=,DP=1,BD=AB=
由勾股定理得:BP==3.
結合(1)③的結論可知:
AM===1.
故點A到BP的距離為1.
【點評】本題考查了旋轉的*質、全等三角形的判定及*質、三角形的面積公式、角的計算以及勾股定理,解題的關鍵:(1)①結合題意畫出圖形;②找出△ADC≌△BEC;③利用分割法求組合圖形的面積;(2)利用類比法藉助(1)③的算式求出結論.本題屬於中檔題,(1)①②難度不大;③難度不小,此處用到了分割組合圖形求面積來找等式,該小問處切記線段AC當成已知量;(2)利用類比的方法套入(1)③的算式即可.解決該題型題目時,畫出圖形,注意數形結合是關鍵.
知識點:勾股定理
題型:綜合題