(1)問題發現:如圖1,△ABC與△CDE均為等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,則線段AE、BD的數...
問題詳情:
(1)問題發現:如圖1,△ABC與△CDE均為等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,則線段AE、BD的數量關係為_______,AE、BD所在直線的位置關係為________;
(2)深入探究:在(1)的條件下,若點A,E,D在同一直線上,CM為△DCE中DE邊上的高,請判斷∠ADB的度數及線段CM,AD,BD之間的數量關係,並説明理由;
(3)解決問題:如圖3,已知△ABC中,AB=7,BC=3,∠ABC=45°,以AC為直角邊作等腰直角△ACD,∠CAD=90°,AC=AD,連接BD,則的長為 .
【回答】
(1)相等,垂直;(2)AD=2CM+BD;(3)或7﹣3
【分析】
(1)結論:AE=BD,AE⊥BD.如圖1中,延長AE交BD於點H,AH交BC於點O.只要*△ACE≌△BCD(SAS),即可解決問題;
(2)結論:AD=2CM+BD,只要*△ACE≌△BCD(SAS),即可解決問題;
(3)分兩種情形分別畫出圖形,構造全等三角形解決問題即可;
【詳解】
(1)結論:AE=BD,AE⊥BD.
理由:如圖1中,延長AE交BD於點H,AH交BC於點O.
∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,
∠ACB=∠DCE=90°,
∴AC=BC,CD=CE,
∴∠ACE=∠BCD,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴AE=BD,∠CAE=∠CBD,
∵∠CAE+∠AOC=90°,∠AOC=∠BOH,
∴∠BOH+∠CBD=90°
∴∠AHB=90°,
∴AE⊥BD.
故*是:AE=BD,AE⊥BD.
(2)結論:AD=2CM+BD,
理由:如圖2中,
∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,
∠ACB=∠DCE=90°,
∴AC=BC,CD=CE,
∴∠ACE=∠BCD,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴AE=BD,∠BDC=∠AEC=135°.
∴∠ADB=∠BDC﹣∠CDE=135°﹣45°=90°;
在等腰直角三角形DCE中,CM為斜邊DE上的高,
∴CM=DM=ME,
∴DE=2CM.
∴AD=DE+AE=2CM+BD.
(3)情形1:如圖3﹣1中,在△ABC的外部,以A為直角頂點作等腰直角△BAE,使∠BAE=90°,AE=AB,連接EA、EB、EC.
∵∠ACD=∠ADC=45°,
∴AC=AD,∠CAD=90°,
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC,即∠EAC=∠BAD,
∴△EAC≌△BAD(SAS),
∴BD=CE.
∵AE=AB=7,
∴BE=,∠ABE=∠AEB=45°,
又∵∠ABC=45°,
∴∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°,
∴EC=,
∴BD=CE=.
情形2:如圖3﹣2中,作AE⊥AB交BC的延長線於E,則△ABE是等腰直角三角形,
同法可*:△EAC≌△BAD(SAS),
∴BD=CE,
∵AB=AE=7,
∴BE=7,
∴EC=BE=CB=7﹣3,
綜上所述,BD的長為或7﹣3.
【點睛】
考查了等腰直角三角形的*質,全等三角形的判定和*質,勾股定理等知識,解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題,學會用分類討論的思想思考問題.
知識點:勾股定理
題型:解答題