如圖，已知△ABC是面積為的等邊三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC與DE相交於點...
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問題詳情：
如圖，已知△ABC是面積為
的等邊三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC與DE相交於點F，則△AEF的面積等於_____（結果保留根號）．
【回答】
【解析】
【分析】
如圖，過點F作FH⊥AE交AE於H，過點C作CM⊥AB交AB於M，根據等邊三角形的*質可求出AB的長，根據相似三角形的*質可得△ADE是等邊三角形，可得出AE的長，根據角的和差關係可得∠EAF=∠BAD=45°，設AH＝HF＝x，利用∠EFH的正確可用x表示出EH的長，根據AE=EH+AH列方程可求出x的值，根據三角形面積公式即可得*．
【詳解】
如圖，過點F作FH⊥AE交AE於H，過點C作CM⊥AB交AB於M，
∵△ABC是面積為
的等邊三角形，CM⊥AB，
∴
×AB×CM＝
，∠BCM＝30°，BM=
AB，BC=AB，
∴CM=
=
，
∴
×AB×
＝
，
解得：AB＝2，（負值捨去）
∵△ABC∽△ADE，△ABC是等邊三角形，
∴△ADE是等邊三角形，∠CAB=∠EAD=60°，∠E=60°，
∴∠EAF+∠FAD=∠FAD+BAD=60°，
∵∠BAD=45°，
∴∠EAF＝∠BAD＝45°，
∵FH⊥AE，
∴∠AFH＝45°，∠EFH＝30°，
∴AH＝HF，
設AH＝HF＝x，則EH＝xtan30°＝
x．
∵AB=2AD，AD=AE，
∴AE＝
AB＝1，
∴x+
x＝1，
解得x＝
．
∴S△AEF＝
×1×
＝
．
故*為：
．
【點睛】
本題考查了相似三角形的*質，等邊三角形的*質，鋭角三角函數，根據相似三角形的*質得出△ADE是等邊三角形、熟練掌握等邊三角形的*質並熟記特殊角的三角函數值是解題關鍵．
知識點：等腰三角形
題型：填空題
