圖，在平面直角座標系中有一直角三角形AOB，O為座標原點，OA＝1，tan∠BAO ＝3，將此三角形繞原點O逆...

問題詳情：

圖，在平面直角座標系中有一直角三角形 AOB，O 為座標原點，OA＝1，tan∠BAO

（1）   求拋物線的解析式；

（2）   若點 P 是第二象限內拋物線上的動點，其橫座標為 t，設拋物線對稱軸 l 與 x 軸交於一點 E，連接 PE，交 CD 於 F，求以 C、E、F 為頂點三角形與△COD 相似時點 P 的座標．

【回答】

解：（1）在 Rt△AOB 中，OA＝1，tan∠BAO＝＝3，

∴OB＝3OA＝3

∵△DOC 是由△AOB 繞點 O 逆時針旋轉 90°而得到的，

∴△DOC≌△AOB，

∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1．

∴A，B，C 的座標分別為（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式為

，

拋物線的解析式為 y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）∵拋物線的解析式為 y＝﹣x2﹣2x+3，

∴對稱軸為 l＝﹣   ＝﹣1，

∴E 點座標為（﹣1，0），如圖，

①當∠CEF＝90°時，△CEF∽△COD，

此時點 P 在對稱軸上，即點 P 為拋物線的頂點，P（﹣1，4）；

②當∠CFE＝90°時，△CFE∽△COD，過點 P 作 PM⊥x 軸於 M 點，△EFC∽△EMP，

∴ ＝ ＝ ＝

∴MP＝3ME，

∵點 P 的橫座標為 t，

∴P（t，﹣t2﹣2t+3），

∵P 在第二象限，

∴PM＝﹣t2﹣2t+3，ME＝﹣1﹣t，

∴﹣t2﹣2t+3＝3（﹣1﹣t），

解得 t1＝﹣2，t2＝3，（與 P 在二象限，橫座標小於 0 矛盾，捨去），當 t＝﹣2 時，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3

∴P（﹣2，3），

知識點：相似三角形

題型：解答題