已知:如圖1,平面直角座標系xOy中,四邊形OABC是矩形,點A,C的座標分別為(6,0),(0,2).點D是...
問題詳情:
已知:如圖1,平面直角座標系xOy中,四邊形OABC是矩形,點A,C的座標分別為(6,0),(0,2).點D是線段BC上的一個動點(點D與點B,C不重合),過點D作直線y=﹣+b交折線O﹣A﹣B於點E.
(第26題圖)
(1)在點D運動的過程中,若△ODE的面積為S,求S與b的函數關係式,並寫出自變量的取值範圍;
(2)如圖2,當點E在線段OA上時,矩形OABC關於直線DE對稱的圖形為矩形O′A′B′C′,C′B′分別交CB,OA於點D,M,O′A′分別交CB,OA點N,E.求*:四邊形DMEN是菱形;
(3)問題(2)中的四邊形DMEN中,ME的長為 .
【回答】
解:(1)∵矩形OABC中,點A,C的座標分別為(6,0),(0,2),
∴點B的座標為(6,2).
若直線經過點C(0,2),則b=2;
若直線經過點A(6,0),則b=3;
若直線經過點B(6,2),則b=5.
①當點E在線段OA上時,即2<b≤3時,(如答圖)
∵點E在直線上,
當y=0時,x=2b,
∴點E的座標為(2b,0).
∴S=.
②當點E在線段BA上時,即3<b<5時,(如答圖)
∵點D,E在直線上
當y=2時,x=2b﹣4;
當x=6時,y=b﹣3,
∴點D的座標為(2b﹣4,2),點E的座標為(6,b﹣3).
∴S=S矩形OABC﹣S△COD﹣S△OAE﹣S△DBE==﹣b2+5b.
綜上可得
(2)*:如圖.
∵四邊形OABC和四邊形O′A′B′C′是矩形
∴CB∥OA,C′B′∥O′A′,
即DN∥ME,DM∥NE.
∴四邊形DMEN是平行四邊形,且∠NDE=∠DEM.
∵矩形OABC關於直線DE對稱的圖形為四邊形O′A′B′C′
∴∠DEM=∠DEN.
∴∠NDE=∠DEN.
∴ND=NE.
∴四邊形DMEN是菱形.
(3)解:y=﹣x+b
當x=0時,y=b,
當y=0時,x=2b,
∴OQ=b,OE=2b
過DH⊥OE於點H,
∴DH=2,
∵∠QOE=90°,DH⊥OA,
∴DH∥OQ,
∴△DHE∽△QOE,
∴=,
即=,
∴HE=2DH=4,
設DM=ME=x,
在△DHM中,由勾股定理得:22+(4﹣x)2=x2,
解得x=2.5.
知識點:特殊的平行四邊形
題型:綜合題