已知,如圖,在平面直角座標系xOy中,點A、B、C分別為座標軸上的三個點,且OA=1,OB=3,OC=4.(1...
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問題詳情:
已知,如圖,在平面直角座標系xOy中,點A、B、C分別為座標軸上的三個點,
且OA=1,OB=3,OC=4.
(1)求經過A、B、C三點的拋物線的解析式及頂點座標;
(2)在拋物線上是否存在一點P,使△ACP的面積等於△ACB的面積?若存在,請求出點P的座標;若不存在,請説明理由;
(3)在平面直角座標系xOy中是否存在一點Q,使得以點A、B、C、Q為頂點的四邊形為菱形?若存在,請求出點Q的座標;若不存在,請説明理由.
【回答】
解:(1)設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,
∵A(1,0)、B(0,3)、C(﹣4,0),
∴
解得:a=,b=,c=3,
∴經過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=x2x+3;
∵y=x2x+3=(x+)2+
∴拋物線的頂點座標是()
(2)在拋物線上存在一點P,使△ACP的面積等於△ACB的面積,理由為:
設點P的座標為P(m,n),
∵S△ACB =×5×3=, S△ACP =×5×︱n︱
∴×5×︱n︱=,n=±3
∴當n=3時,x2x+3=3,解得x1=0,x2=-3
當n=-3時,x2x+3=-3,解得x1=,x2=
∴P的座標為P 1(-3,3),P 2(,-3),P3(,-3)
(3)在平面直角座標系xOy中存在一點Q,使得以點A、B、C、Q為頂點的四邊形為菱形,理由為:
∵OB=3,OC=4,OA=1,
∴BC=AC=5,
當BQ平行且等於AC時,四邊形ACBP為菱形,
∴BQ=AC=5,且點P到x軸的距離等於OB,
∴點Q的座標為(5,3),
當點Q在第二、三象限時,以點A、B、C、Q為頂點的四邊形只能是平行四邊形,不是菱形,
則當點Q的座標為(5,3)時,以點A、B、C、Q為頂點的四邊形為菱形.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:解答題