如圖,在平面直角座標系中,長方形OABC的頂點A,C分別在x軸、y軸的正半軸上,點B的座標為(8,4),將該長...
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問題詳情：
如圖,在平面直角座標系中,長方形OABC的頂點A,C分別在x軸、y軸的正半軸上,點B的座標為(8,4),將該長方形沿OB翻折,點A的對應點為點D,OD與BC交於點E. (Ⅰ)*:EO=EB; (Ⅱ)求點E的座標; (Ⅲ)點M是OB上任意一點,點N是OA上任意一點,是否存在點M、N,使得AM＋MN最小？若存在,求出其最小值;若不存在,請説明理由.
【回答】
解:(Ⅰ)∵將該長方形沿OB翻折,點A的對應點為點D,OD與BC交於點E. ∴∠DOB=∠AOB, ∵BC∥OA, ∴∠OBC=∠AOB, ∴∠OBC=∠DOB, ∴EO=EB; (Ⅱ)由(Ⅰ)有,EO=EB, ∵長方形OABC的頂點A,C分別在x軸、y軸的正半軸上,點B的座標為(8,4), 設OE=x,則DE=8－x, 在Rt△BDE中,BD=4,根據勾股定理得,DB2＋DE2=BE2, ∴16＋(8－x)2=x2, ∴x=5, ∴BE=5, ∴CE=3, ∴E(3,4); (Ⅲ)如解圖,過點D作OA的垂線交OB於M,交OA於N,此時的M,N是AM＋MN的最小值的位置,求出DN就是AM＋MN的最小值, 由(Ⅱ)有,DE=3,BE=5,BD=4, ∴根據面積有DE×BD=BE×DG, ∴DG=
=
, 由題意有,GN=OC=4, ∴DN=DG＋GN=
＋4=
. 即:AM＋MN的最小值為
.
知識點：二次函數與一元二次方程
題型：解答題
