如圖,在平面直角座標系中,O為原點,▱ABCD的頂點A在x軸正半軸上,點B在第一象限,OA=4,OC=2,點P...
問題詳情:
如圖,在平面直角座標系中,O為原點,▱ABCD的頂點A在x軸正半軸上,點B在第一象限,OA=4,OC=2,點P、點Q分別是邊BC、邊AB上的動點,△PQB沿PQ所在直線摺疊,點B落在點B1處.
(1)若▱OABC是矩形.
①寫出點B的座標.
②如圖1,若點B1落在OA上,且點B1的座標為(3,0),求點Q的座標.
(2)若OC⊥AC,如圖2,過點B1作B1F∥x軸,與對角線AC、邊OC分別交於點E、F.若B1F=3B1E,點B1的橫座標為m,求點B1的縱座標(用含m的代數式表示),並直接寫出點B1的所有可能的情況下,m的最大值和最小值.
【回答】
【考點】四邊形綜合題.
【分析】(1)①根據OA=4,OC=2,可得點B的座標;
②首先設AQ=x,由點B關於PQ的對稱點為B1,可得B1Q=BQ=2﹣x,然後由在Rt△AB1Q中,由AQ2+AB12=B1Q2,得方程:x2+1=(2﹣x)2,解此方程解可求得*;
(2)根據平行四邊形的*質,且分點在線段EF的延長線和線段上兩種情況進行分析求解可求得*.
【解答】解:(1)∵OA=4,OC=2,
∴點B的座標為(4,2);
②設AQ=x,點B關於PQ的對稱點為B1,則B1Q=BQ=2﹣x,
∵點B1落在OA上,點B1(3,0),
∴OB1=3,
∴AB1=4﹣3=1,
在Rt△AB1Q中,由AQ2+AB12=B1Q2,
得:x2+1=(2﹣x)2,
解得:x=;
∴點Q的座標為:(4,);
(2)∵四邊形OABC為平行四邊形,OA=4,OC=2,且OC⊥AC,
∴∠OAC=30°,
∴點C(1,),
∵B1F=3B1E,
∴點B1不與點E,F重合,也不在線段EF的延長線上,
①當點B1在線段FE的延長線上時,如圖2,延長B1F與y軸交於點G,點B1的橫座標為m,B1F∥x軸,
∵B1F=3B1E,
∴B1G=m,
設OG=a,
則GF=a,OF=a,
∴CF=2﹣a,
∴EF=4﹣a,B1E=2﹣a,
∴B1G=B1E+EF+FG=(2﹣a)+(4﹣a)+a=m,
∴a=﹣m+,即B1的縱座標為﹣m+,
m的取值範圍是≤m≤1+;
②當點B1在線段EF(除點E,F)上時,如圖3,延長B1F與y軸交於點G,點B1的橫座標為m,B1F∥x軸,
B1F=3B1E,
∴B1G=m,
設OG=a,
則GF=a,OF=a,
∴CF=2﹣a,
∴FE=4﹣,B1F=EF=3﹣a,
∴B1G=B1F+FG=(3﹣a)+a=m,
∴a=﹣m+,即點B1的縱座標為﹣m+,
故m的取值範圍是:≤m≤3.
∴m的最大值為:1+,最小值為:.
知識點:特殊的平行四邊形
題型:解答題