如圖1,在平面直角座標系xOy中,已知△ABC,∠ABC=90°,頂點A在第一象限,B,C在x軸的正半軸上(...
問題詳情:
如圖1,在平面直角座標系xOy中,已知△ABC,∠ABC=90°,頂點A在第一象限,B,C在x軸的正半軸上(C在B的右側),BC=2,AB=2,△ADC與△ABC關於AC所在的直線對稱.
(1)當OB=2時,求點D的座標;
(2)若點A和點D在同一個反比例函數的圖象上,求OB的長;
(3)如圖2,將第(2)題中的四邊形ABCD向右平移,記平移後的四邊形為A1B1C1D1,過點D1的反比例函數y=(k≠0)的圖象與BA的延長線交於點P.問:在平移過程中,是否存在這樣的k,使得以點P,A1,D為頂點的三角形是直角三角形?若存在,請直接寫出所有符合題意的k的值;若不存在,請説明理由.
【回答】
解:(1)如圖1中,作DE⊥x軸於E.
∵∠ABC=90°,
∴tan∠ACB=,
∴∠ACB=60°,
根據對稱*可知:DC=BC=2,∠ACD=∠ACB=60°,
∴∠DCE=60°,
∴∠CDE=90°-60°=30°,
∴CE=1,DE=,
∴OE=OB+BC+CE=5,
∴點D座標為(5,).
(2)設OB=a,則點A的座標(a,2),
由題意CE=1.DE=,可得D(3+a,),
∵點A、D在同一反比例函數圖象上,
∴2a=(3+a),
∴a=3,
∴OB=3.
(3)存在.理由如下:
①如圖2中,當∠PA1D=90°時.
∵AD∥PA1,
∴∠ADA1=180°-∠PA1D=90°,
在Rt△ADA1中,∵∠DAA1=30°,AD=2,
∴AA1==4,
在Rt△APA1中,∵∠APA1=60°,
∴PA=,
∴PB=,
設P(m,),則D1(m+7,),
∵P、A1在同一反比例函數圖象上,
∴m=(m+7),
解得m=3,
∴P(3,),
∴k=10.
②如圖3中,當∠PDA1=90°時.
∵∠PAK=∠KDA1=90°,∠AKP=∠DKA1,
∴△AKP∽△DKA1,
∴.
∴,
∵∠AKD=∠PKA1,
∴△KAD∽△KPA1,
∴∠KPA1=∠KAD=30°,∠ADK=∠KA1P=30°,
∴∠APD=∠ADP=30°,
∴AP=AD=2,AA1=6,
設P(m,4),則D1(m+9,),
∵P、A1在同一反比例函數圖象上,
∴4m=(m+9),
解得m=3,
∴P(3,4),
∴k=12.
點睛:本題考查反比例函數綜合題、相似三角形的判定和*質、鋭角三角函數、解直角三角形、待定係數法等知識,解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題,學會了可以參數構建方程解決問題,屬於中考壓軸題.
知識點:未分類
題型:未分類