矩形OABC在平面直角座標系中的位置如圖所示，已知B（2，2），點A在x軸上，點C在y軸上，P是對角線OB上一...

問題詳情：

矩形OABC在平面直角座標系中的位置如圖所示，已知B（2，2），點A在x軸上，點C在y軸上，P是對角線OB上一動點（不與原點重合），連接PC，過點P作PD⊥PC，交x軸於點D．下列結論：

①OA＝BC＝2；

②當點D運動到OA的中點處時，PC2+PD2＝7；

③在運動過程中，∠CDP是一個定值；

④當△ODP為等腰三角形時，點D的座標為（，0）．

其中正確結論的個數是（　　）

A．1個             B．2個              C．3個             D．4個

【回答】

D【分析】①根據矩形的*質即可得到OA＝BC＝2；故①正確；

②由點D為OA的中點，得到OD＝OA＝，根據勾股定理即可得到PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（）2＝7，故②正確；

③如圖，過點P作PF⊥OA於F，FP的延長線交BC於E，PE＝a，則PF＝EF﹣PE＝2﹣a，根據三角函數的定義得到BE＝PE＝a，求得CE＝BC﹣BE＝2﹣a＝（2﹣a），根據相似三角形的*質得到FD＝，根據三角函數的定義得到∠PDC＝60°，故③正確；

④當△ODP為等腰三角形時，Ⅰ、OD＝PD，解直角三角形得到OD＝OC＝，Ⅱ、OP＝OD，根據等腰三角形的*質和四邊形的內角和得到∠OCP＝105°＞90°，故不合題意捨去；Ⅲ、OP＝PD，根據等腰三角形的*質和四邊形的內角和得到∠OCP＝105°＞90°，故不合題意捨去；於是得到當△ODP為等腰三角形時，點D的座標為（，0）．故④正確．

【解答】解：①∵四邊形OABC是矩形，B（2，2），

∴OA＝BC＝2；故①正確；

②∵點D為OA的中點，

∴OD＝OA＝，

∴PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（）2＝7，故②正確；

③如圖，過點P作PF⊥OA於F，FP的延長線交BC於E，

∴PE⊥BC，四邊形OFEC是矩形，

∴EF＝OC＝2，

設PE＝a，則PF＝EF﹣PE＝2﹣a，

在Rt△BEP中，tan∠CBO＝＝＝，

∴BE＝PE＝a，

∴CE＝BC﹣BE＝2﹣a＝（2﹣a），

∵PD⊥PC，

∴∠CPE+∠FPD＝90°，

∵∠CPE+∠PCE＝90°，

∴∠FPD＝∠ECP，

∵∠CEP＝∠PFD＝90°，

∴△CEP∽△PFD，

∴＝，

∴＝，

∴FD＝，

∴tan∠PDC＝＝＝，

∴∠PDC＝60°，故③正確；

④∵B（2，2），四邊形OABC是矩形，

∴OA＝2，AB＝2，

∵tan∠AOB＝＝，

∴∠AOB＝30°，

當△ODP為等腰三角形時，

Ⅰ、OD＝PD，

∴∠DOP＝∠DPO＝30°，

∴∠ODP＝60°，

∴∠ODC＝60°，

∴OD＝OC＝，

Ⅱ、OP＝OD，

∴∠ODP＝∠OPD＝75°，

∵∠COD＝∠CPD＝90°，

∴∠OCP＝105°＞90°，故不合題意捨去；

Ⅲ、OP＝PD，

∴∠POD＝∠PDO＝30°，

∴∠OCP＝150°＞90°故不合題意捨去，

∴當△ODP為等腰三角形時，點D的座標為（，0）．故④正確，

故選：D．

知識點：各地中考

題型：選擇題