如圖1，在平面直角座標系中，O為原點，四邊形OABC是平行四邊形，已知點C在x軸正半軸上，連接AC．（1）若點...

問題詳情：

如圖1，在平面直角座標系中，O為原點，四邊形OABC是平行四邊形，已知點C在x軸正半軸上，連接AC．

（1）若點A、C的座標分別為（1，2）、，求B點座標和平行四邊形的面積．

（2）若點A的座標為（3，4），當OA=OC時，點D在線段上，且DC=1，問：在線段AC上是否存在一點P，使OP+PD值最小？若存在，求出OP+PD的最小值；若不存在，請説明理由；

（3）在（1）的條件下，將△ABC沿AC翻折得到△AB’C，AB’交OC於點Q，若CO恰好平分∠ACB’，求的值．

【回答】

解：（1）如圖1，過點A作AE⊥OC於點E，過點B作BF⊥x軸於點F，

則∠AEO=∠BFC=90°，

∵四邊形AOCB是平行四邊形，

∴OA=BC，OA∥CB，

∴∠AOE=∠BCF，

∴△AOE≌△BCF（AAS），

則CF=OE=1、BF=AE=2，

∵OC=，

∴OF=OC+CF=+1=，

則點B座標為（，2），S平行四邊形AOCB=OC•BF=×2=5．

（2）如圖2，連接BO交AC於點Q，連接BD交AC於點P，

由A（3，4）知OE=CF=3、AE=4，

則OA=OC=BC=5，

∵四邊形AOCB是平行四邊形，且OA=OC，

∴四邊形AOCB是菱形，

則AC、BD互相垂直平分，

∴點P即為所求，PO+PD=PB+PD=BD，

∵DC=1、CF=3，

∴DF=4，

∵BF=4，

∴PO+PD=PB+PD=BD=4；

（3）∵四邊形AOCB是平行四邊形，

∴∠AOQ=∠B，

由翻折變換知∠B=∠B′，

∴∠AOQ=∠B′，

∵∠AQO=∠CQB′，

∴∠OAQ=∠B′CQ，

∵CO恰好平分∠ACB′，

∴∠B′CQ=∠ACO，

∴∠OAQ=∠ACO，

∴△AOQ∽△COA，

∴=，

∵A（1，2）、C（，0），

∴OA=、OC=，

∴=，

解得：OQ=2，

則===．

知識點：三角形全等的判定

題型：解答題