在平面直角座標系中，等腰直角的直角頂點C在y軸上，另兩個頂點A，B在x軸上，且，拋物線經過A，B，C三點，如圖...
來源：國語幫 1.03W
問題詳情：
在平面直角座標系
中，等腰直角
的直角頂點C在y軸上，另兩個頂點A，B在x軸上，且
，拋物線經過A，B，C三點，如圖1所示．
（1）求拋物線所表示的二次函數表達式．
（2）過原點任作直線l交拋物線於M，N兩點，如圖2所示．
①求
面積的最小值．
②已知
是拋物線上一定點，問拋物線上是否存在點P，使得點P與點Q關於直線l對稱，若存在，求出點P的座標及直線l的一次函數表達式；若不存在，請説明理由．
【回答】
（1）
；（2）①4；②點
，
或點
，
【解析】
（1）設拋物線的解析式為
，根據等腰直角三角形的*質得到
三點的座標，代入解析式即可得到*；
（2）①設直線l的解析式為
，交點
，
，聯立一次函數與二次函數的解析式，利用一元二次方程根與係數的關係得到
，利用面積與
的函數，得到面積的最小值；②假設拋物線上存在點
，使得點P與點Q關於直線l對稱，利用對稱得：
列方程求解
再求點P的座標及直線l的一次函數表達式即可．
【詳解】
解：（1）設拋物線的解析式為
，
在等腰
中，
垂直平分
，且
，
∴
．
∴
，
解得：
∴拋物線的解析式為
（2）①設直線l的解析式為
，交點
，
由
，
可得
，
∴
，
．
∴
，
∴
．
∴
．
∴當
時，
取最小值4．
∴
的最小值是4．
②假設拋物線上存在點
，使得點P與點Q關於直線l對稱，
∴
，即
解得：
，
，
，
∵
，
，（不合題意，捨去．）
當
時，點
，線段
的中點為
．
∴
，
．
∴直線l的表達式為：
．
當
時，點
，線段
的中點為
．
∴
，
．
∴直線l的表達式為：
綜上：點
，
或點
，
．
【點睛】
本題考查的是利用待定係數法求解二次函數的解析式，一次函數的解析式，二次函數與一次函數的交點問題，一元二次方程根與係數的關係，軸對稱的*質，利用因式分解的方法解方程，掌握以上知識是解題的關鍵．
知識點：二次函數與一元二次方程
題型：解答題
