已知菱形OABC在平面直角座標系的位置如圖所示，頂點A（5，0），OB=4，點P是對角線OB上的一個動點，D（...

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問題詳情：

已知菱形OABC在平面直角座標系的位置如圖所示，頂點A（5，0），OB=4，點P是對角線OB上的一個動點，D（0，1），當CP+DP最短時，點P的座標為（）

A. （0，0） B.（1，） C.（，） D.（，）

【回答】

D【考點】菱形的*質，平面直角座標系，，軸對稱——最短路線問題，三角形相似，勾股定理，動點問題．

【分析】點C關於OB的對稱點是點A，連接AD，交OB於點P，P即為所求的使CP+DP最短的點；連接CP，解答即可.

【解答】解：如圖，連接AD，交OB於點P，P即為所求的使CP+DP最短的點；連接CP，AC，AC交OB於點E，過E作EF⊥OA，垂足為F.

∵點C關於OB的對稱點是點A，

∴CP=AP，

∴AD即為CP+DP最短；

∵四邊形OABC是菱形， OB=4，

∴OE=OB=2，AC⊥OB

又∵A（5，0），

∴在Rt△AEO中，AE===；

易知Rt△OEF∽△OAE

∴=

∴EF===2，

∴OF===4.

∴E點座標為E（4，2）

設直線OE的解析式為：y=kx，將E（4，2）代入，得y=x，

設直線AD的解析式為：y=kx+b，將A（5，0），D（0，1）代入，得y=－x+1，

∴點P的座標的方程組 y=x，

y=－x+1，

解得 x=，

∴點P的座標為（，）

故選D.

【點評】本題考查了菱形的*質，平面直角座標系，，軸對稱——最短路線問題，三角形相似，勾股定理，動點問題．關於最短路線問題：在直線L上的同側有兩個點A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關於直線L的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L的交點就是所要找的點（注：本題C，D位於OB的同側）．如下圖：