如圖1，在平面直角座標系中，有一張矩形紙片OABC，已知O（0，0），A（4，0），C（0，3），點P是OA邊...
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問題詳情：
如圖1，在平面直角座標系中，有一張矩形紙片OABC，已知O（0，0），A（4，0），C（0，3），點P是OA邊上的動點（與點O、A不重合）．現將△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC邊上選取適當的點E，將△POE沿PE翻折，得到△PFE，並使直線PD、PF重合．
（1）設P（x，0），E（0，y），求y關於x的函數關係式，並求y的最大值；
（2）如圖2，若翻折後點D落在BC邊上，求過點P、B、E的拋物線的函數關係式；
（3）在（2）的情況下，在該拋物線上是否存在點Q，使△PEQ是以PE為直角邊的直角三角形？若不存在，説明理由；若存在，求出點Q的座標．
【回答】
解：（1）由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，則∠BPE＝90度．
∴∠OPE+∠APB＝90°．
又∵∠APB+∠ABP＝90°，∴∠OPE＝∠PBA，∴Rt△POE∽Rt△BPA．
∴
，即
．
∴y＝
x（4﹣x）＝﹣
x2+
x（0＜x＜4）．
且當x＝2時，y有最大值
．
（2）由已知，△PAB、△POE均為等腰直角三角形，可得P（1，0），E（0，1），B（4，3）．
設過此三點的拋物線為y＝ax2+bx+c，則
∴
y＝
x2﹣
x+1．
（3）由（2）知∠EPB＝90°，即點Q與點B重合時滿足條件．
直線PB為y＝x﹣1，與y軸交於點（0，﹣1）．
將PB向上平移2個單位則過點E（0，1），
∴該直線為y＝x+1．
由
得
，
∴Q（5，6）．
故該拋物線上存在兩點Q（4，3）、（5，6）滿足條件．
知識點：相似三角形
題型：綜合題
