如圖,在平面直角座標系xOy第一象限中有正方形OABC,A(4,0),點P(m,0)是x軸上一動點(0<m<4...
問題詳情:
如圖,在平面直角座標系xOy第一象限中有正方形OABC,A(4,0),點P(m,0)是x軸上一動點(0<m<4),將△ABP沿直線BP翻折後,點A落在點E處,在OC上有一點M(0,t),使得將△OMP沿直線MP翻折後,點O落在直線PE上的點F處,直線PE交OC於點N,連接BN.
(I)求*:BP⊥PM;
(II)求t與m的函數關係式,並求出t的最大值;
(III)當△ABP≌△CBN時,直接寫出m的值.
【回答】
【解析】解:(Ⅰ)由摺疊知,∠APB=∠NPB,∠OPM=∠NPM,
∵∠APN+∠OPN=180°,∴2∠NPB+2∠NPM=180°,
∴∠NPB+∠NPM=90°,∴∠BPM=90°,∴BP⊥PM;
(Ⅱ)∵四邊形OABC是正方形,∴∠OAB=90°,AB=OA,
∵A(4,0),∴AB=OA=4,∵點P(m,0),∴OP=m,
∵0<m<4,∴AP=OA﹣OP=4﹣m,∵M(0,t),∴OM=t,
由(1)知,∠BPM=90°,∴∠APB+∠OPM=90°,
∵∠OMP+∠OPM=90°,∴∠OMP=∠APB,
∵∠MOP=∠PAB=90°,∴△MOP∽△PAB,∴,∴,
∴t=﹣m(m﹣4)=﹣(m﹣2)2+1
∵0<m<4,∴當m=2時,t的最大值為1;
(Ⅲ)∵△ABP≌△CBN,∴∠CBN=∠ABP,BP=BN,
由摺疊知,∠ABP=∠EBP,∠BEP=∠BAP=90°,
∴NE=PE,∠NBE=∠PBE,∴∠CBN=∠NBE=∠EBP=∠PBA,
∴∠CBE=∠ABE=45°,
連接OB,∵四邊形OABC是正方形,∴∠OBC=∠OBA=45°,
∴點E在OB上,∴OP=ON=m,∴PN=m,
∵OM=t,∴MN=ON=OM=m﹣t,
如圖,過點N作OP的平行線交PM的延長線於G,
∴∠OPM=∠G,
由摺疊知,∠OPM=∠NPM,∴∠NPM=∠G,∴NG=PN=m,
∵GN∥OP,∴△OMP∽△NMG,∴,∴=①,
由(2)知,t=﹣m(m﹣4)②,
聯立①②解得,m=0(舍)或m=8﹣.
知識點:相似三角形
題型:綜合題