如圖所示，在平面直角座標系中，點B的座標是（﹣1，0），點C的座標是（1，0），點D為y軸上一點，點A為第二象...

問題詳情：

如圖所示，在平面直角座標系中，點B的座標是（﹣1，0），點C的座標是（1，0），點D為y軸上一點，點A為第二象限內一動點，且∠BAC=2∠BDO，過D作DM⊥AC於點M．

（1）求*：∠ABD=∠ACD．

（2）若點E在BA延長線上，求*：AD平分∠CAE．

（3）當A點運動時，的值是否發生變化？若不變化，請求出其值；若變化，請説明理由．

【回答】

【考點】三角形綜合題．

【分析】（1）在△ABC中，∠ABD+∠CBD+∠ACB=180﹣∠BAC=180﹣2∠BDO①；連接CD，*出BD=CD，在△BCD中，∠ACD+∠ACB+∠CBD=180﹣2∠BDO②；由一樣會②即可得出結論；

（2）過D作DN⊥BE於N，由AAS*△BDN≌△CDM，得出∵DM⊥AC，DM=DN，即可得出結論；

（3）由全等三角形的*質得出BN=CM；*出AN=AM；得出AC=AB=2AM，即可得出結論．

【解答】（1）*：在△ABC中，∠ABD+∠CBD+∠ACB=180﹣∠BAC，

∵∠BAC=2∠BDO，

∴∠ABD+∠CBD+∠ACB=180﹣∠BAC=180﹣2∠BDO①；

∵點B的座標是（﹣1，0），點C的座標是（1，0），

∴OB=OC，∵DO⊥BC，

∴BD=CD，

∴∠BDO=∠CDO，∠BDC=2∠BDO，

連接CD，在△BCD中，∠ACD+∠ACB+∠CBD=180﹣2∠BDO②；

①﹣②得：∠ABD﹣∠ACD=0，

∴∠ABD=∠ACD；

（2）*：過D作DN⊥BE於N，如圖所示：

∵DM⊥AC，

∴∠DNB=∠DMC=90°，

在△BDN和△CDM中，，

∴△BDN≌△CDM（AAS），

∴DN=DM，

∴AD是∠CAE的角平分線，

即AD平分∠CAE；

（3）解：∵△BDN≌△CDM，

∴BN=CM；

由AD是∠CAE的角平分線，得AN=AM；

又BN=AN+AB=AM+AB；  CM=AC﹣AM；

∴AC=AB=2AM，

∴=2，

即的值是定值2．

知識點：與三角形有關的線段

題型：解答題