如圖，在平面直角座標系xoy中，O為座標原點，點A（4，0），點B（0，4），△ABO的中線AC與y軸交於點C...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系xoy中，O為座標原點，點A（4，0），點B（0，4），△ABO的中線AC與y軸交於點C，且⊙M經過O，A，C三點．

（1）求圓心M的座標；

（2）若直線AD與⊙M相切於點A，交y軸於點D，求直線AD的函數表達式；

（3）在過點B且以圓心M為頂點的拋物線上有一動點P，過點P作PE∥y軸，交直線AD於點E．若以PE為半徑的⊙P與直線AD相交於另一點F．當EF＝4時，求點P的座標．

【回答】

解：（1）點B（0，4），則點C（0，2），

∵點A（4，0），則點M（2，1）；

（2）∵⊙P與直線AD，則∠CAD＝90°，

設：∠CAO＝α，則∠CAO＝∠ODA＝∠PEH＝α，

tan∠CAO＝＝＝tanα，則sinα＝，cosα＝，

AC＝，則CD＝＝10，

則點D（0，﹣8），

將點A、D的座標代入一次函數表達式：y＝mx+n並解得：

直線AD的表達式為：y＝2x﹣8；

（3）拋物線的表達式為：y＝a（x﹣2）2+1，

將點B座標代入上式並解得：a＝，

故拋物線的表達式為：y＝x2﹣3x+4，

過點P作PH⊥EF，則EH＝EF＝2，

cos∠PEH＝，

解得：PE＝5，

設點P（x，x2﹣3x+4），則點E（x，2x﹣8），

則PE＝x2﹣3x+4﹣2x+8＝5，

解得x＝或2（捨去2），

則點P（，）．

知識點：各地中考

題型：綜合題